Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 4

1. a) Es sei γ: [0, L] → ℝ^{2} eine geschlossene Kurve parametrisiert durch γ(u) = (f(u), g(u)) mit |γ̇(u)| = 1 und f(u) > 0 f.a. 0 ≤ u ≤ L. γ_{[0,L)} sei injektiv und γ(0) = γ(L). Betrachte γ als in der x-z-Ebene liegend. Sei F die Rotationsfläche, die durch Rotation von γ um die z-Achse entsteht. Gib eine möglichst einfache Formel für den Flächeninhalt von F. 3 Pkte.

b) Berechne den Flächeninhalt von

T_{a,b} = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − b)^{2} + z^{2} = a^{2} \}, 0 < a < b .

1 Pkt.

2. Es sei T ⊂ ℝ^{3} der Torus

\{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \} 0 < r < R .

a) Berechne das Einheitsnormalenfeld n^{⇀} auf T mit n(r + R, 0, 0) = (1, 0, 0) und für das Vektorfeld

v(x, y, z) = (\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , 0) das Integral ∫_{T} v · dS^{⇀} bzgl. der Orientierung durch n. 2 Pkte.

b) Berechne direkt (ohne Verwendung des Satzes von Gauß) das Integral

∫∫∫_{V} div vd^{3}(x, y, z)

über den Volltorus V mit ∂V = T . 2 Pkte.

3. a) Es seien U ⊂ ℝ^{3} offen und X ∈ C^{2}(U, ℝ^{3}), f ∈ C^{2}(U, ℝ). Zeige:

rot grad f = 0, div rot X = 0 .

2 Pkte.

b) Finde ein divergenzfreies Vektorfeld X auf ℝ^{3} \ {0}, welches kein Rotationsfeld ist, also daß kein Y auf ℝ^{3} \ {0} mit rot Y = X existiert. 2 Pkte.

4. a) Sei

F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2}, y^{2} + z^{2} ≥ \frac{r^{2}}{9} \} 0 < r < R,

orientiert durch n^{⇀} mit n^{⇀}(R, 0, r) = (0, 0, 1). Berechne ∂F und bestimme die induzierte Orientie-

rung. Sei X^{⇀} = rot (\begin{matrix}x \\ −z \\ y \end{matrix}) und berechne ∫∫_{F} X^{⇀} · dS^{⇀}. 2

Pkte. b) Sei F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} −R)^{2} +z^{2} = r^{2} \} und berechne ∫∫_{F} rot X^{⇀} ·dS^{⇀} für ein beliebiges

C^{1}-Vektorfeld X^{⇀} auf F. 2 Pkte.

Rückgabe: In den Kasten am 09.11.