Fachseminar
Morse-Theorie
(2-st.)
Aktuelle
Informationen (hier bitte in
regelmäßigen Abständen nachschauen)
Beginn:
Vorbesprechung Donnerstag, 10.04.08, 09:15 Uhr, im SR 116
Zeit
und Ort: Montags,
15.15-16.45 Uhr, im Seminarraum 1-22 im Mathem. Institut
Erster Vortrag am 21.04.08
Dieses Fachseminar findet erst ab einer Zahl von mindestens 4 Teilnehmern statt!
bitte
interessierte Teilnehmer eine Email
an Prof. M.
Schwarz schicken.
Teilnehmerkreis:
Studierende
der Mathematik und Physik
im 6. oder 8. Fachsemester
Vorkenntnisse:
- Vorlesungen
des Grundstudiums
- Differentialgeometrie
I
- Analysis auf Mannigfaltigkeiten
- Grundkenntnisse in Algebraischer Topologie sind hilfreich aber nicht Voraussetzung.
Inhalt:
Morse-Theorie ist eine sehr wichtige Methode der Differentialtopologie, welche eine Beziehung zwischen der lokalen analytischen Information kritischer Punkte einer gegebenen Funktion auf einer Mannigfaltigkeit mit der globalen, topologischen Information der Mannigfaltigkeit verknüpft. So wird meistens Morse-Theorie verwendet um aus der Kenntnis einer konkreten Funktion und ihrer kritischen Punkte die Homologie der Mannigfaltigkeit zu bestimmen, bzw. umgekehrt aus der Kenntnis der Homologie Existenz und Multiplizitäten von kritischen Punkten zu beschreiben.
Eine der wichtigsten Anwendungen der Morse-Theorie ist die Beschreibung der Pfad- und Schleifenraumes von Mannigfaltigkeiten und der Untersuchung von Existenz und Multiplizitäten von geodätischen Kurven.
Eine berühmte Anwendung ist das Bott-Periodizitätstheorem. Letzteres wird in diesem Seminar allerdings nur bei hinreichend hoher Teilnehmerzahl und hinreichend guten Vorkenntnissen in Differentialgeometrie behandelbar sein.
Minimalziele dieses Seminars sind:
- Morse-Lemma
- Beschreibung einer Zell-Komplex-Struktur der Mannigfaltigkeit mittels Morse-Funktion, kritischen Punkten und Gradientenfluss
- Beziehung zwischen kritischen Punkten einer Morse-Funktion und der Homologie der Mannigfaltigkeit
weiteres mögliches Ziel ist:
- Morse-Theorie für das Energiefunktional auf dem Pfadraum einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
- Index-Theorem für Geodätische
"Traumziel" ist:
- Bott-Periodizitätstheorem
Haupt-Literatur: J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematics Studies 51, Princeton Univ. Press, 1969
weitere Literatur:
- R. Stöcker u. H. Zieschang, Algebraische Topologie, Teubner, Stuttgart: I.4 CW-Räume
- J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer: Kap. 6, Morse Theory and Floer Homology
- V. Guillemin a. S. Sternberg, Geometric Asymptotics, revised edition, AMS: Chapter I, The method of stationary phase, Appendix I
- weiterführend: M. Schwarz, Morse Homology, Birkhäuser, 1993.
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