Differentialgeometrie 1
Zeit und Ort: Mo,
13:15 - 14:45 in HS 2
Do, 11:15 - 12:45 in HS 10
Beginn der Vorlesungen: Montag, 13.10.03, 13:15
Uhr
Beginn der Übungen: bereits
in der ersten Semesterwoche!
Teilnehmerkreis: Studierende
der Mathematik, Physik und des Lehramts an Gymnasien, im 5. Fachsemester
Vorkenntnisse: Differential-
und Integralrechnung I und II, Lineare Algebra
sehr wünschenswert: Maß-
und Integrationstheorie und Gewöhnliche Differentialgleichungen
Ziel dieser 4-stündigen Vorlesung ist eine Einführung in die
Differentialgeometrie mit den zwei
Blöcken: Analysis auf Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Geometrie.
Die Fortsetzung als Differentialgeometrie II im Sommersemester
2004 ist geplant mit den Inhalten:
Riemannsche Geometrie (Forts.)
und Symplektische Geometrie.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind topologische Räume, welche
die lokale Struktur von
Vektorräumen besitzen in einer Weise, so daß Analysis betrieben
werden kann, wie zum Beispiel
das Studium differenzierbarer Funktionen, Vektorfelder, etc. Ein wichtiges
Hilfsmittel dabei
sind die Differentialformen.
Inhalte des ersten Blockes ist die Einführung und Behandlung der
mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
verbunden Strukturen und Methoden: Vektorbündel, Differentialformkalkül,
Tensoren,
Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten. Ein zentraler zu
behandelnder Satz
ist der Satz von Frobenius und der damit verbundene Begriff der Integrablen
Strukturen.
In der Theorie der Riemannschen Geometrie werden differenzierbare Mannigfaltigkeiten
untersucht,
welche zusätzliche Strukturen, die sogenannte Riemannsche Metrik
tragen und welche es
erlauben, geometrische Begrifflichkeiten wie Länge,Winkel, Volumen,
etc. zu behandeln. Diese
Strukturen sind von rein lokaler Natur. Die wichtigste Invariante einer
solchen Riemannschen
Metrik ist die Krümmung. Ziel dieser ersten Vorlesung ist unter
anderem eine Einführung in
den Krümmungsbegriff. Dabei spielt der Fall von eingebetteten
Flächen im drei-dimensionalen
euklidischen Raum eine spezielle und klassische Rolle. Hierbei läßt
sich vor allem der Unterschied
zwischen der intrinsischen und der extrinsischen Geometrie hervorheben,
welcher vor allem im
19. Jahrhundert durch Gauß. Riemann und anderen zentral herausgearbeitet
wurde. Ein wichtiger
Satz wird Gauß' Theorema Egregium sein. Weitere wichtige Inhalte
werden affine Zusammenhänge und Paralleltransport sein.
Literatur: Die nachfolgenden Literaturangaben
stellen nur eine mögliche Auswahl dar.
Es gibt eine Vielzahl weiterer empfehlenswerter Lehrbücher, welche
den Stoff in ähnlicher Weise
adäquat darstellen.
-
Th. Bröcker und K. Jänich, Einführung in die Differentialtopologie,
Heidelberger Taschenbücher ; Bd. 143, Springer 1990.
-
W. Kühnel, Differentialgeometrie, Kurven, Flächen, Mannigfaltigkeiten,Vieweg-Studium
: Aufbaukurs Mathematik, Braunschweig Vieweg 1999.
-
L. Conlon, Differentiable Manifolds: A First Course, Basler Lehrbücher
, Boston : Birkhäuser, 1993.
-
M. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall,
1976 .
-
M. do Carmo, Riemannian Geometry, Boston : Birkhäuser, 1992.
-
S. Gallot, D. Hulin a. J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer Universitext,
1990.
-
J. Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen, Springer 1994.
-
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer Universitext.
Scheinvergabe: Regelmäßige Teilnahme
an den Übungsgruppen
Bearbeitung der Übungsaufgaben (mindest. 50% korrekt bearbeitet)
am Ende des Semesters
(Termin wird hier noch bekanntgegeben)
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