UNIVERSITÄT LEIPZIG

 Fakultät für Mathematik und Informatik

SS 2008                                                                                 Prof. M. Schwarz

Differentialgeometrie 2


 



                                 Mi, 09.15 - 10.45 im Felix-Klein-Hs. (mathem. Inst.)
                                 Fr, 13.15 - 14.45 im Felix-Klein-Hs. (mathem. Inst.)


Beginn der Vorlesungen: Mittwoch, 09.04.03, 09:15 Uhr

Teilnehmerkreis: Studierende der Mathematik, Physik und des Lehramts an Gymnasien, im 6. Fachsemester

Vorkenntnisse:

  • Differential- und Integralrechnung I und II,
  • Lineare Algebra I und II
  • Mass- und Integrationstheorie
  • und Gewöhnliche Differentialgleichungen,
  • teilweise Differentialgeometrie I

Ziel dieser 4-stündigen Vorlesung ist zum einen eine Fortführung der Differentialgeometrie-Vorlesung des vorigen Wintersemesters mit der Konzentration auf Geometrischen Strukturen auf Vektorbündeln sowie Riemannsche Geometrie. Dieses soll jedoch nur die erste Hälfte der Vorlesung ausmachen. Danach soll vor allem eine grundlegende von vorherigem weitgehend unabhängige Einführung in die Symplektische Geometrie stattfinden.
Riemannsche Geometrie: Nachdem im Wintersemester bereits der Riemannsche Krümmungstensor eingeführt wurde, sollen nun die Begriffe der Ricci- und Skalar-Krümmung vorgestellt werden zusammen mit typischen Sätzen, wie zum Beispiel Vergleichssätze und Sphärensätze. Des weiteren sollen Geodätische Kurven und Jakobi-Felder behandelt werden mit Anwendung auf den Satz von Hadamard-Cartan und von Bonnet-Myers.
Symplektische Geometrie ist von gänzlich anderer Natur als Riemannsche Geometrie. Im Gegensatz dazu gibt es keine lokalen Invarianten. Symplektische Strukturen unterscheiden sich vielmehr durch globale Strukturen, welche auf den Begriff der Symplektischen Topologie führen. Ein wichtiger Themenkreis ist das Phänomen der symplektischen Starrheit. Ziel dieser Vorlesung soll es sein, hierfür die Grundlagen bereitzustellen, die eigentlichen Methoden (pseudo-holomorphe Kurven) jedoch werden erst in einer nachfolgenden Vorlesung behandelt werden können. Eine grundle- gende Rolle spielen Normalenformen für symplektische Strukturen, Konstruktionsmethoden wie symplektische Reduktion und symplektische Gruppenoperationen.
Des weiteren steht symplektische Geometrie in einem wichtigen und unmittelbaren Zusammenhang mit theoretischer Physik, speziell der klassischer Mechanik. Von herausragender Rolle sind hierbei die Hamiltonschen Dynamischen Systeme. Dazu wird ebenfalls im Sommersemester eine separate 2-st. Vorlesung über Hamiltonsche Dynamische Systeme angeboten.

Literatur: Die nachfolgenden Literaturangaben stellen nur eine mögliche Auswahl dar. Es gibt eine Vielzahl weiterer empfehlenswerter Lehrbücher, welche den Stoff in ähnlicher Weise adäquat darstellen. 
Riemannsche Geometrie
L. Conlon, Differentiable Manifolds: A First Course, Basler Lehrbücher , Boston : Birkhäuser, 1993.
S. Gallot, D. Hulin a. J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer Universitext, 1990.
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer Universitext.
P. Petersen, Riemannian Geometry Graduate texts in mathematics 171, Springer, 1998.
Symplektische Geometrie
A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry, Lecture Notes in Math., 1764, Springer, Berlin, 2001.
D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press.
H. Hofer, E. Zehnder, Hamiltonian Dynamics and Symplectic Invariants Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser.

Sprechzeiten

Prof. M. Schwarz: Mittwochs, 11-12 Uhr und n.V.

Aktualisierungen(hier bitte in regelmäßigen Abständen nachschauen)


Prof. M. Schwarz