Differentialgeometrie 2
Mi, 09.15 - 10.45 im Felix-Klein-Hs. (mathem. Inst.)
Fr, 13.15 - 14.45 im Felix-Klein-Hs. (mathem. Inst.)
Beginn der Vorlesungen: Mittwoch, 09.04.03, 09:15 Uhr
Teilnehmerkreis: Studierende
der Mathematik, Physik und des Lehramts an Gymnasien, im 6. Fachsemester
Vorkenntnisse:
- Differential- und Integralrechnung I und II,
- Lineare Algebra I und II
- Mass- und Integrationstheorie
- und Gewöhnliche Differentialgleichungen,
- teilweise Differentialgeometrie I
Ziel dieser 4-stündigen Vorlesung ist zum einen eine
Fortführung der Differentialgeometrie-Vorlesung des vorigen
Wintersemesters mit der Konzentration auf Geometrischen Strukturen auf
Vektorbündeln sowie Riemannsche Geometrie. Dieses soll jedoch nur
die erste Hälfte der Vorlesung ausmachen. Danach soll vor allem
eine grundlegende von vorherigem weitgehend unabhängige
Einführung in die Symplektische Geometrie stattfinden.
Riemannsche Geometrie: Nachdem im Wintersemester bereits der
Riemannsche Krümmungstensor eingeführt wurde, sollen nun die
Begriffe der Ricci- und Skalar-Krümmung vorgestellt werden
zusammen mit typischen Sätzen, wie zum Beispiel
Vergleichssätze und Sphärensätze. Des weiteren sollen
Geodätische Kurven und Jakobi-Felder behandelt werden mit
Anwendung auf den Satz von Hadamard-Cartan und von Bonnet-Myers.
Symplektische Geometrie ist von gänzlich anderer Natur als
Riemannsche Geometrie. Im Gegensatz dazu gibt es keine lokalen
Invarianten. Symplektische Strukturen unterscheiden sich vielmehr
durch globale Strukturen, welche auf den Begriff der Symplektischen
Topologie führen. Ein wichtiger Themenkreis ist das
Phänomen der symplektischen Starrheit. Ziel dieser Vorlesung soll
es sein, hierfür die Grundlagen bereitzustellen, die eigentlichen
Methoden (pseudo-holomorphe Kurven) jedoch werden erst in einer
nachfolgenden Vorlesung behandelt werden können. Eine grundle-
gende Rolle spielen Normalenformen für symplektische Strukturen,
Konstruktionsmethoden wie symplektische Reduktion und symplektische
Gruppenoperationen. Des weiteren steht symplektische Geometrie in
einem wichtigen und unmittelbaren Zusammenhang mit theoretischer
Physik, speziell der klassischer Mechanik. Von herausragender Rolle
sind hierbei die Hamiltonschen Dynamischen Systeme. Dazu wird
ebenfalls im Sommersemester eine
separate 2-st. Vorlesung über Hamiltonsche Dynamische Systeme angeboten.
Literatur: Die nachfolgenden Literaturangaben
stellen nur eine mögliche Auswahl dar. Es gibt eine Vielzahl weiterer
empfehlenswerter Lehrbücher, welche den Stoff in ähnlicher Weise
adäquat darstellen.
Riemannsche Geometrie
L. Conlon, Differentiable Manifolds: A First Course,
Basler Lehrbücher , Boston : Birkhäuser, 1993.
S. Gallot, D. Hulin a. J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer Universitext, 1990.
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer Universitext.
P. Petersen, Riemannian Geometry Graduate texts in mathematics 171, Springer, 1998.
Symplektische Geometrie
A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry, Lecture Notes in Math., 1764, Springer, Berlin, 2001.
D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press.
H. Hofer, E. Zehnder, Hamiltonian Dynamics and Symplectic Invariants Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser.
Sprechzeiten
Prof. M. Schwarz: Mittwochs,
11-12 Uhr und n.V.
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