Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 2

1. Zeige: f(x) = ln x, x ∈ (0, ∞), ist nicht gleichmäßig stetig. (2 Punkte)

2. Entscheide, ob folgende Funktionen Riemann-integrierbar sind und gib im integrierbaren Fall das Integral an:

a) f(x) = \begin{cases}2^{−n}, & x ∈ (2^{−n−1}, 2^{−n}] \\ 0, & x = 0 \end{cases} für x ∈ [0, 1]. (2 Punkte)

b) f(x) = \begin{cases}2nx, & x ∈ (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}], \\ 0, & x = 0, \end{cases}, für x ∈ [0, 1]. (3 Punkte)

c) f(x) = \begin{cases}1, & x ∈ ℝ \ ℚ ∩ [0, 1], \\ \frac{q−2}{q}, & x = \frac{p}{q} ∈ ℚ, p, q ∈ ℕ, teilerfremd \end{cases} für x ∈ [0, 1]. (2 Punkte)

3. Es sei I = [a, b] und f: → ℝ eine beliebige beschränkte Funktion. Zeige: Dann gilt

sup_{I} |f| − inf_{I} |f| ≤ sup_{I} f − inf_{I} f .

(2 Punkte)

4. Es sei (f, I) ↦ J(f, I) eine Abbildung, die jedem Paar einer auf ℝ stetigen Funktion f ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) und eines kompakten Intervalls I = [a, b] eine reelle Zahl zuordnet, so daß folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(a) |I| inf_{I} f ≤ J(f, I) ≤ |I| sup_{I} f, wobei |I| = b − a, (Mittelwerteigenschaft)

(b) J(f, I_{1}∪I_{2}) = J(f, I_{1})+J(f, I_{2}) für alle kompakten Intervalle I_{1} = [a, b], I_{2} = [b, c], a < b < c. (Additivität).

Zeige: Durch diese beiden Eigenschaften ist das Riemannsche Integral eindeutig bestimmt:

J(f, I) = ∫_{a}^{b} f(x)dx, f.a. f ∈ C^{0}(ℝ), I = [a, b] .

(4 Punkte)

Rückgabe: Freitag, 24.04.09 in den Briefkästen