Def. 1. Es seien U eine Umgebung von 0 in ℝ oder ℂ und f, g: U\{0} → ℂ gegebene Funktionen. Dann schreiben wir

f = o(g)

genau dann, wenn ein δ > 0 existiert und ein φ: { z ∈ U | |z| < δ } → ℂ mit

f(z) = φ(z)g(z) und lim_{z→0} φ(z) = 0 .

Diese Funktion φ kann aufgefasst werden als eine beliebige Funktion φ: U → ℂ mit φ(0) = 0 und stetig in 0. Man kann o(g) auch als die Menge aller Funktionen der Form

o(g) = { φ(z)g(z) | φ wie oben}

auffassen.

Lemma 1. Es gilt a) o(z^{n}) + o(z^{m}) = o(z^{m}) für alle m ≤ n ∈ ℕ_{0}.

b) o(az^{n} + o(z^{n})) = o(z^{n}), für alle a ∈ ℂ, n ∈ ℕ_{0}.
c) o(o(1)) ≠ o(z).

Beweis. a) Betrachte f(z) = φ(z)z^{n}+ψ(z)z^{m} mit lim_{z→0} ϕ(z) = lim_{z→0} ψ(z) = 0 und n = m + k, k ≥ 0. Dann folgt

f(z) = (φ(z)z^{k} + ψ(z)) · z^{m},

und somit f(z) = o(z^{m}) aufgrund der Grenzwertsätze.

b) Sei f(z) = o(az^{n} + o(z^{n})). Es seien also φ_{1}, φ_{2} : U(0) → ℂ Funktionen mit lim_{z→0} φ_{i}(z) = 0 für 1, 2 und

\begin{aligned}f(z) & = φ_{1}(z) · (az^{n} + φ_{2}(z)z^{n}) \\ & = φ_{1}(z)(a + φ_{2}(z)) · z^{n}, \end{aligned}

also gilt f ∈ o(z^{n}).

c) Betrachte zum Beispiel f(z) = |z|^{\frac{1}{3}} |z|^{\frac{1}{3}} = o(o(1)). Wegen \frac{f(z)}{|z|} = |z|^{− \frac{1}{3}} → ∞ für z → 0 gilt aber f(z) ≠ o(z). □