Vorlesung Topologie (Sommersemester 2020)


Stephan Mescher

Die Vorlesung fand aufgrund der Corona-Pandemie rein virtuell statt. Genauer biete ich folgende Ressourcen an:

  • Einen Moodle-Kurs zur Vorlesung, in dem unter anderem Foren zu finden sind, in denen die Übungsblätter diskutiert und Lösungen verglichen werden können. Ein Gastzugang zum Moodle-Kurs ist für Studierende anderer Hochschulen per Gast-Login möglich.
  • Eine YouTube-Playlist mit allen Vorlesungsvideos. Die gesamte Vorlesung steht also in Videoform auf meinen YouTube-Kanal zur Verfügung.
  • Eine wöchentliche virtuelle Sprechstunde montags 14:30-15:30 via BigBlueButton (keine Registrierung notwendig). Diese wurd bis zum Ende der Vorlesungszeit am 18.07.2020 angeboten, bei Bedarf biete ich auf Anfrage gerne zusätzliche Sprechstunden an. .


Materialien

Vollständiges Skript zur Vorlesung

Übungsblätter

Benötigte Grundkenntnisse

  • Analysis I und II
  • Lineare Algebra I und II
  • im späteren Verlauf: einige wenige Grundbegriffe der Gruppentheorie (normale Untergruppen, Nebenklassen, ...), die ggf. wiederholt werden


Inhalt der Vorlesung

Die Topologie ist das Gebiet der Mathematik, in dem intuitiv vertraute Begriffe aus der Geometrie, wie etwa "Raum" oder "Nähe" auf ein abstraktes und solides Fundament gestellt werden. Dabei werden Begriffe wie Konvergenz und Stetigkeit verallgemeinert, die für metrische Räume aus der Analysis vertraut sind und Aussagen über Punkte treffen, die "nahe beieinander" liegen. Das Ziel dieser Vorlesung ist es, Grundlagen der mengentheoretischen Topologie sowie eine Einführung in erste Gebiete der algebraischen Topologie zu besprechen. Ein Grundwissen in mengentheoretischer Topologie ist wichtig, um wichtige Resultate vieler wichtiger Gebiete wie etwa der Differentialgeometrie oder der Funktionalanalysis tiefgreifend zu verstehen, während die algebraische Topologie als Hilfsmittel in vielen Bereichen der modernen Geometrie sowie als eigene Disziplin unverzichtbar geworden ist.

Zunächst werden wir in der Vorlesung über topologische Räume und stetige Abbildungen sprechen. Wir werden Verfahren kennenlernen, wie man aus gegebenen topologischen Räumen neue topologische Räume konstruieren kann (Unterräume, Produkträume, Abbildungsräume, Identifizierungstopologien, Verklebe-Konstruktionen). Wichtige Eigenschaften topologischer Räume wie Zusammenhang, Kompaktheit, Trennungseigenschaften und Vollständigkeit, die in der Analysis meist nur für den R^n besprochen werden, werden wir in einen allgemeineren Rahmen fassen und sehen, welche Komplikationen bei ihrer abstrakten Verallgemeinerung entstehen können. Weitere Themen, über die gesprochen werden soll, sind Gruppenwirkungen sowie topologische Räume mit algebraischen Strukturen, nämlich topologische Gruppen und topologische Vektorräume. Letztere spielen eine gewichtige Rolle in der Funktionalanalysis.

Um einen ersten Einblick in die algebraische Topologie zu bekommen, werden wir zunächst Grundlagen über den Begriff der Homotopie betrachten, danach zum Begriff der Fundamentalgruppe kommen, einer ersten algebraisch-topologischen Invariante. Wir werden eine Anwendung in der Theorie der Überlagerungen finden und sehen, auf welche Weise man durch algebraische Methoden Aussagen über topologische Räume und stetige Abbildungen treffen kann. Schließlich wollen wir den Satz von Seifert-van Kampen besprechen, welcher einen Einblick in den Aufbau topologischer Räume liefert. Nebenbei soll ein erster Einblick in die Kategorientheorie vermittelt werden, welcher einen strukturierten Hintergrund für diese Themen liefert.

Hinweise

Die Vorlesung wird sich inhaltlich nicht oder kaum mit der ebenfalls angebotenen Vorlesung Differentialtopologie (Mo 9-11 Uhr) von Dr. Judith Brinkschulte überschneiden. Beide Vorlesungen können unabhängig voneinander und parallel zueinander besucht werden. Falls noch Platz im Stundenplan ist, empfehle ich allen Interessierten einen Besuch beider Vorlesungen.

Empfohlene Literatur

Die Vorlesung wird keinem einzelnen Buch folgen, jedoch werden sich einzelne Kapitel und Abschnitte an folgenden Quellen orientieren. Die Struktur und Inhalte der Vorlesung werden ähnlich zu den Kapiteln 1-8 des Buches von Laures/Szymik sein. Erl&auterungen zu einigen der Bücher gebe ich auch in einem Video.



Zielgruppe

Die Vorlesung gehört zum Wahlpflichtbereich in den Diplomstudiengängen Mathematik und Wirtschaftsmathematik. Dementsprechend wird es keine abschließende Klausur oder Übungsscheine geben. Es werden keine begleitenden Übungsgruppen angeboten, ich beabsichtige aber, gelegentlich Übungsblätter zu erstellen, die zur freiwilligen Vertiefung des Vorlesungsstoffes geeignet sind, und von denen einzelne Aufgaben in der Vorlesung besprochen werden.