Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 9

1. Man berechne die folgenden Residuen

res_{0} \frac{z^{n−1}}{sin^{n} z} , res_{0} \frac{sin 2z − 2 sin z}{sin z(sin z − z)}, res_{0} \frac{tan z − z}{(1 − cos z)^{2}} , res_{0} \frac{z − 1}{Log(z + 1)},

wobei Log der Zweig des Logarithmus auf ℂ \ ℝ^{−} ist.

2. Berechne:

∫_{0}^{2π} \frac{sin^{2} t}{1 − 2a cos t + a^{2}} dt, a ∈ ℝ

∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4} + 6x^{2} + 13}dx

∫_{0}^{∞} \frac{x sin x}{x^{2} + a^{2}} dx, a > 0

∫_{−∞}^{∞} \frac{xe^{−πix/2}}{x^{2} − 2x + 5}dx .

3. a) 2 Punkte Bestimme die Anzahl der Nullstellen der folgenden Polynome in dem jeweils angegebenen Gebiet:

(ii) z^{7} − 5z^{4} + iz^{2} − 2 in |z| < 1, (iii) z^{5} + iz^{3} − 4z + i in 1 < |z| < 2.

b) 2 Punkte: Es sei λ > 1. Zeige, daß die Gleichung e^{−z} + z = λ in der Halbebene Re z > 0 genau eine Lösung hat, und daß diese außerdem reell ist.

4. a) Es sei f ∈ O(U) für U ⊂ ℂ offen und z_{o} ∈ U. z_{o} sei eine w_{o}-Stelle von f der Ordnung k > 1. Zeige (2 Punkte): Es gibt eine biholomorphe Abbildung h in einer Umgebung von z_{o}, so daß f lokal bei z_{o} ausgedrückt werden kann als Komposition von h, Potenzfunktion ζ ↦ ζ^{k} und Translation w ↦ w + w_{o}. 2 Punkte

b) Es sei f ∈ O(U) mit { |z| ≤ 1 } ⊂ U, U offen in ℂ. Es gelte |f(z)| < 1 für alle |z| = 1. Zeige: Für jedes n ∈ ℕ hat die Gleichung f(z) = z^{n} genau n Lösungen in 𝔼 = {|z| < 1}, und f hat genau einen Fixpunkt in 𝔼. 2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 10.06.