Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 8

1. Sei G ⊂ ℂ^{×} ein einfach zusammenhängendes Gebiet.

a) Zeige: Es existiert auf G ein Zweig des Logarithmus. 2 Punkte

b) Zeige: Es existiert auf G ein Zweig der Wurzelfunktion, d.h. g ∈ O(G) mit (g(z))^{2} = z f.a. z ∈ G. 2 Punkte.

2. a) Zeige: Jede komplexe Möbiustranformation φ ∈ Aut(ℂ̂) lässt sich als eine endliche Komposition φ_{1} ∘ … ∘ φ_{n} aus Transformationen φ_{i} vom Typ Inversion z ↦ \frac{1}{z}, Translation z ↦ z + b, b ∈ ℂ und Drehstreckung z ↦ az, a ∈ ℂ zusammensetzen. 2 Punkte

b) Zeige: Die Gruppen P SL(2, ℝ) und Aut(ℍ) sind isomorph. 2 Punkte

3. a) Es seien zwei Kreisbögen k_{1} und k_{2} in der komplexen Zahlenebene gegeben, so daß sich k_{1} und k_{2} in zwei Punkten schneiden, also ein sogenanntes Kreisbogenzweieck bilden. Finde eine konforme Abbildung, die das Innere dieses Zweiecks auf die obere Halbebene abbildet. 2 Punkte

b) Finde eine konforme Abbildung des Gebiets {|z| < 1} auf das Gebiet { Re z, Im z > 0} und bestimme auch die inverse Abbildung. 2 Punkte

4. Es seien r paarweise verschiedene Punkte z_{1}, …, z_{r} ∈ ℂ̂ gegeben und es sei G = ℂ̂ \ {z_{1}, …, z_{r}}. Bestimme Aut(G) explizit und vollständig für r = 2, 3, 4. 4 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 03.06.