Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 7

1. Bestimme die Anzahl der Nullstellen der folgenden Polynome in dem jeweils angegebenen Gebiet:

(i) 2z^{4} − 5z + 2 in |z| > 1,

(ii) z^{7} − 5z^{4} + iz^{2} − 2 in |z| < 1,

(iii) z^{5} + iz^{3} − 4z + i in 1 < |z| < 2.

4 Punkte

2. a) Es sei λ > 1. Zeige, daß die Gleichung e^{−z} +z = λ in der Halbebene Re z > 0 genau eine Lösung hat, und daß diese außerdem reell ist. 2 Punkte

b) Es sei f ∈ O(U) für U ⊂ ℂ offen und z_{o} ∈ U. z_{o} sei eine w_{o}-Stelle von f der Ordnung k > 1. Zeige: Es gibt eine biholomorphe Abbildung h in einer Umgebung von z_{o}, so daß f lokal bei z_{o} ausgedrückt werden kann als Komposition von h, Potenzfunktion ζ ↦ ζ^{k} und Translation w ↦ w + w_{o}. 2 Punkte

3. Zeige: Jede Möbiustransformation T ∈ PSL(2, ℂ) bildet Kreise und Geraden auf Kreise oder Geraden ab. 4 Punkte

4. a) Es sei f ∈ O(U) mit { |z| ≤ 1 } ⊂ U, U offen in ℂ. Es gelte |f(z)| < 1 für alle |z| = 1. Zeige: Für jedes n ∈ ℕ hat die Gleichung f(z) = z^{n} genau n Lösungen in 𝔼 = {|z| < 1}, und f hat genau einen Fixpunkt in 𝔼. 2 Punkte

b) Berechne

∫_{−infty}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} .

2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 27.05.