Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 6

1. Es sei U ⊂ ℂ eine offene Teilmenge, und a, b ∈ ℂ\U liegen in derselben Zusammenhangskomponente. Zeige: Es existiert eine holomorphe Funktion f ∈ O(U) mit

(f(z))^{2} = (z − a)(z − b) f.a. z ∈ U .

4 Punkte

2. a) Berechne den Hauptteil der Laurent-Entwicklung der folgenden Funktionen in den angegebenen Gebieten:

\frac{z−1}{sin^{2} z} für 0 < |z| < π,  \frac{ze^{iz}}{(z^{2} + b^{2})^{2}} für 0 < |z − ib| < 2b, b > 0

2 Punkte

b) Für folgende Funktionen f und Punkte z_{o} bestimme man die Art der Singularität von f in z_{o}. Bei hebbaren Singularitäten bestimme man den Grenzwert von f, für Pole gebe man den Hauptteil an:

\frac{1}{1−e^{z}} in z_{o} = 0,  \frac{cos z − 1}{z^{6}} in z_{o} = 0,
cos (\frac{1}{z}) in z_{o} = 0,  sin(π/(z^{2} + 1)) in z_{0} = i .

2 Punkte

3. a) Man berechne die folgenden Residuen

res_{0} \frac{z^{n−1}}{sin^{n} z}, res_{0} \frac{sin 2z−2 sin z}{sin z(sin z−z)},

res_{0} \frac{tan z−z}{(1−cos z)^{2}} , res_{0} \frac{z−1}{Log(z+1)},

wobei Log der Zweig des Logarithmus auf ℂ \ ℝ^{−} ist. 2 Punkte

b) Es sei f holomorph in einer Umgebung von z_{o}, es gelte f′(z_{o}) ≠ 0, und die Funktion g habe einen Pol 1. Ordnung in w_{o} = f(z_{o}). Drücke res_{z_{o}} g ∘ f durch res_{w_{o}} g aus. 2 Punkte

4. Berechne:

∫_{0}^{2π} \frac{sin^{2} t}{1−2a cos t+a^{2}} dt, a ∈ ℝ ∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4}+6x^{2}+13}dx

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(a+bx^{2})^{n}} , a, b > 0, n ∈ ℕ ∫_{0}^{∞} \frac{x sin x}{x^{2}+a^{2}} dx, a > 0

∫_{0}^{∞} \frac{\sqrt{x}}{16+x^{2}} dx, ∫_{−∞}^{∞} \frac{xe^{−πix/2}}{x^{2}−2x+5}dx .

4 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 20.05.