Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 5

1. Sei f(z) = \frac{1}{(z^{2}+1)(z−2)}.

a) Bestimme die Laurentreihendarstellung um z_{o} = 0 für alle in Frage kommenden Kreisringgebiete. 3 Punkte

b) Bestimme alle Residuen von f. 1 Punkt

2. Finde für folgende Funktionen alle Pole und Nullstellen und bestimme ihre Ordnungen (je 1/2 Punkt):

(a) \frac{1}{(z+3)(z^{2}+4)}  (b) sin z − z  (c) sin \frac{1}{z} − \frac{1}{z}  (d) \frac{1}{sin z−z}
(e) \frac{1}{e^{z}−1}  (f) \frac{sin z}{cos z−1}  (g) \frac{sin πz}{z+1}  (h) e^{z} − 1 − z

3. Es sei f ∈ O(ℂ) eine nicht-konstante ganze Funktion. Zeige: Die Wertemenge f(ℂ) ⊂ ℂ ist dicht. 4 Punkte

4. Es sei U ⊂ ℂ eine offene Teilmenge, und a, b ∈ ℂ\U liegen in derselben Zusammenhangskomponente.

a) Betrachte g(z) = \frac{z−a}{z−b}. Zeige: \frac{g′}{g} ∈ O(U) hat eine Stammfunktion in u. 2 Punkte

b) Zeige: Es existiert eine holomorphe Funktion f ∈ O(U) mit

e^{f(z)} = \frac{z − a}{z − b} f.a. z ∈ U .

2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 13.05.