Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 4

1. a) Es sei Γ ∈ Z_{1}(ℂ) ein 1-Zykel. Zeige: Es existieren geschlossene Integrationswege γ_{1}, …, γ_{r} (nicht notw. verschieden), so dass

⋃_{i=1}^{r} sp γ_{i} = sp Γ und n(Γ, z) = ∑_{i=1}^{r} n(γ_{i}, z)

für alle z ∈ ℂ \ sp Γ. 2 Punkte

b) Es seien z_{1}, …, z_{k} ∈ ℂ paarweise verschieden. Zeige:

H_{1}(ℂ \ {z_{1}, …, z_{k}}) ≅ ℤ^{k} .

2 Punkte

2. a) Berechne ∮_{|z|=r} \frac{dz}{(z−a)^{n}(z−b)^{m}} für |a| < r < |b| mit m, n ≥ 1. 2 Punkte

b) Berechne ∮_{|z|=r} f(z)dz für f(z) = \frac{z^{2}+(1−2i)z−2}{z^{3}−(1+2i)z^{2}+(2i−1)z+1} und für alle r ≠ 1. 2 Punkte

3. a) Es sei U ⊂ ℂ offen und L eine Gerade in der Ebene ℂ. Es sei f: U → ℂ stetig und auf U \ L holomorph. Zeige, daß f auf ganz U holomorph ist. 2 Punkte 2 Punkte

b) Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet mit z ∈ G ⇔ z̄ ∈ G, d.h. symmetrisch zur reellen Achse. Es sei f: { z ∈ G | Im z ≥ 0 } → ℂ stetig und auf { z ∈ G | Im z > 0 } holomorph, sowie f(ℝ ∩ G) ⊂ ℝ. Zeige, daß durch

f̂(z) = \begin{cases}f(z), & Im z ≥ 0, \\ \overline{f(z̄)}, & Im z < 0, \end{cases}

eine auf G holomorphe Funktion definiert wird. Diese Methode heißt Schwarzsches Spiegelungs-

prinzip nach Hermann Amandus Schwarz (1843-1921). 2

Punkte

4. a) Entscheide und begründe, ob die folgenden Funktionen in den Nullpunkt hinein holomorph fort-

setzbar sind:

\frac{z}{e^{z} − 1}, z^{2} sin \frac{1}{z} .

2 Punkte

b) Es sei f: B_{r}(0) → B_{R}(0) holomorph mit f(0) = 0. Zeige:

|f(z)| ≤ \frac{R}{r}|z| .

Hinweis: Schwarzsches Lemma 2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 06.05.