Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 3

1. Es sei U ⊂ ℂ offen, z_{o} ∈ U und f ∈ O(U). Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind: 4 Punkte • f hat in z_{o} eine Nullstelle mit ord_{z_{o}} f = n,

• f(z) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}(z − z_{o})^{k} mit positivem Konvergenzradius und a_{n} ≠ 0,

• ex. g ∈ O(B_{ε}(z_{o})) für ein ε > 0 mit g(z_{o}) ≠ 0 und f(z) = g(z)(z − z_{o})^{n}.

2. Zeige für eine holomorphe Funktion f ∈ O(G) auf einem Gebiet G:

a) Wenn es ein c ∈ ℂ gibt, so dass f(z) = c · f̄(z) f.a. z ∈ G, dann ist f konstant. 1 Punkt b) Wenn g: ℂ → ℂ holomorph ist und g ∘ f ist konstant, dann ist f oder g konstant. 1 Punkt c) Wenn f_{1}, …, f_{N} auf G holomorph sind und |f_{1}|^{2} + … + |f_{N}|^{2} ist konstant, dann ist jedes f_{j} konstant. 2 Punkte

3. Aufgabe zu den Logarithmus-Funktionen: Es sei D ⊂ ℂ^{×} ein Gebiet. Eine stetige Funktion l: D → ℂ mit der Eigenschaft exp l(z) = z für alle z ∈ D heißt ein stetiger Zweig des Logarithmus. Zeige (je 1 Punkt):

a) Je zwei stetige Zweige l, l̃des Logarithmus haben die Eigenschaft l̃= l + 2πik für ein k ∈ ℤ.

b) Jeder stetige Zweig l des Logarithmus ist holomorph, l ∈ O(D), und es gilt l′(z) = \frac{1}{z}.

c) Auf D existiert genau dann ein stetiger Zweig des Logarithmus, wenn die Funktion \frac{1}{z} eine Stammfunktion auf D hat.

d) Man konstruiere zwei Gebiete D_{1} und D_{2} und stetige Zweige l_{1} : D_{1} → ℂ, l_{2} : D_{2} → ℂ des Logarithmus, so daß ihre Differenz auf D_{1} ∩ D_{2} nichtkonstant ist.

4. Betrachte die Abbildung f: ℂ^{×} → ℂ, z ↦ \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}). Diese Abbildung ist nicht injektiv (da f(z) = f(\frac{1}{z})) aber konform auf ℂ^{×}, d.h. das Differential Df(z) in jedem Punkt mit f′(z) ≠ 0 eine konforme lineare Abbildung. Zeige (je 1 Punkt):

a) Das Bild der Kreislinie S_{r} := { z ∈ ℂ | |z| = r }, r > 0, unter f ist (i) im Fall r ≠ 1 eine Ellipse mit den Brennpunkten ±1 und Halbachsen \frac{1}{2}(r + \frac{1}{r}) bzw. \frac{1}{2}|r − \frac{1}{r}|, (ii) f(S_{1}) = [−1, 1].

b) Das Bild einer Halbgeraden r ↦ re^{iϕ}, r > 0 (ϕ ∉ {0, ±π/2, π}, ϕ fest) ist ein Ast einer Hyperbel mit den Brennpunkten ±1.

Bitten wenden! c) Es seien D_{1} := { z ∈ ℂ | |z| > 1 } und D_{2} := { z ∈ ℂ | 0 < |z| < 1 }. Dann bilden f_{|D_{1}} und f_{|D_{2}}

jeweils diese Mengen konform auf die sogenannte längs der reellen Achse von −1 bis 1 geschlitzte Ebene ab, d.h. auf

ℂ \ { t ∈ ℝ | − 1 ≤ t ≤ 1} .

d) Skizziere das Bild eines hinreichend feinen “Gitters” aus x- und y-achsenparallelen Geraden unter der Abbildung f.

Rückgabe: In den Kasten am 29.04.