Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 2

1. Es sei G ⊂ ℂ ein sternförmiges Gebiet und f: G → ℂ eine stetige Funktion.

Beweise den Satz aus der Vorlesung: f hat eine Stammfunktion auf G ⇔

∮_{∂△} f(z)dz = 0 f.a. △(z_{1}, z_{2}, z_{3}) ⊂ G .

2. Entscheide, ob folgende reellwertige Funktionen φ: D → ℝ auf Gebieten D ⊂ ℂ Realteil einer holomorphen Funktion f ∈ O(D) sind und wenn ja, bestimme f:

a) φ(x, y) = (x cos y − y sin y)e^{x} auf D = ℂ.

b) φ(x, y) = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} auf D = ℂ^{x}.

c) φ(x, y) = \sqrt{x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}} auf D_{ε} = \{(x, y) ≠ 0 | arctan(y/x) ∈ (π + ε, π − ε)\} für beliebiges 0 < ε < π.

d) log \sqrt{x^{2} + y^{2}} auf D = ℂ^{x}.

3. a) Zeige: Es gibt keine stetige Funktion f: ℂ^{∗} → ℂ^{∗} mit (f(z))^{2} = z f.a. z ∈ ℂ^{x}. 2 Punkte

b) Es seien f: ℂ ⊃ D → ℂ eine holomorphe Funktion, z_{o} ∈ D mit f(z_{o}) ≠ 0 und γ_{1}, γ_{2} : (−ε, ε) → D zwei stetig differenzierbare Kurven mit γ_{1}(0) = γ_{2}(0) = z_{o}. Es sei α ∈ [0, 2π) der Winkel zwischen γ̇_{1}(0) und γ̇_{2}(0). Berechne den Winkel α̃ zwischen ċ_{1}(0) und ċ_{2}(0), wobei c_{j} = f ∘ γ_{j} , j = 1, 2. Warum kann man f auch als eine konforme Abbildung bezeichnen? 1 Punkt

c) Für folgende komplexe Funktionen f: ℂ ⊃ D → ℂ bestimme man f(D) ⊂ ℂ und man skizziere die Bildkurven unter f der achsenparallelen Geraden in D, d.h. {(x, y) ∈ D | x odery konstant}.

• f(z) = z^{2}, D = ℍ = { z ∈ ℂ | Im z > 0 }. 1 Punkt

4. a) Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, so dass der Rand durch einen einfach geschlossenen Integrationsweg γ gegen den Uhrzeigersinn parametrisiert wird, ∂G = sp γ. Zeige ohne Verwendung der Cauchy-Integralformel, dass ∮_{γ} \frac{dζ}{ζ−z} = 2πi für alle z ∈ G gilt. 2 Punkte

b) Es sei nun G = (−3, 3) × (0, 3) und p(z) = z^{3} − z^{2} + 2z − 1. Berechne

∮_{∂G} \frac{dz}{p(z)} .

2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 22.04.