Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 12

1. Sei f ∈ O(ℂ \ {0, −1, −2, …}) mit f(z + 1) = z · f(z) f.a. z ∉ {0, −1, …}. Zeige:

a) f hat in −n, n ∈ ℕ_{o} Pole erster Ordnung.

b) Berechne res_{−n} f, n ∈ ℕ_{o}.

2. a) Es sei h ∈ O(ℂ) und H(z) := h(z) · h(1 − z). Zeige: Falls H(z) = 0 f.a. Re z = 0, so folgt

h ≡ 0. Gilt dies auch für beliebige h ∈ C^{∞}(ℝ^{2}, ℝ)? Begründe!

b) Für alle |z| < 1 mit

1 + z = r e^{iϑ}, r ∈ (0, 2), ϑ ∈ (−π/2, π/2)

gilt log r + iϑ = − ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{n}}{n}.

3. a) Was für eine Singularität hat die Funktion f(z) = e^{1/z} in z = 0? Begründe! Bestimme f(ℂ^{∗}). b) Bestimme den Konvergenzradius der Taylorreihe der Funktion f(z) = \frac{z}{e^{z}−1} in z_{o} = 0.

c) Bestimme alle f ∈ O(ℂ) mit f bijektiv und f^{−1} stetig.

4. Beweise mit Hilfe des Residuensatzes

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}dx = \frac{π}{2} .

Rückgabe: keine offizielle Rückgabe, individueller Übungszettel