Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 11

1. a) Es seien p: ℝ → S^{1}, p(x) = e^{ix} und f: S^{1} → S^{1} stetig, f ≠ const. Zeige: Falls g: ℝ → ℝ stetig

mit p ∘ g = f ∘ p, so ist \frac{g(2π)−g(0)}{2π} ∈ ℤ. 2 Punkte b) Sei α > 0 und f: ℂ^{∗} → ℂ^{∗} mit f(z) = z^{α} f.a. z ∈ ℂ^{∗}. Zeige: Dann ist α ∈ ℕ. Folgere: Es gibt

keinen Zweig der n-ten Wurzel z^{\frac{1}{n}} auf ℂ^{∗}. 2 Punkte

2. Es sei f ∈ O(ℂ^{∗}), z_{o} ∈ ℂ^{∗} und T_{z_{o}}f die Taylorreihe von f in z_{o}.

a) Zeige: T_{z_{o}}f hat einen Konvergenzradius R ≥ |z_{o}|. 1 Punkt b) Zeige: Es existieren z_{0}, …, z_{5}, z_{6} = z_{0} ∈ S^{1} mit |z_{i} − z_{i+1}| < 2 f.a. 0 ≤ i ≤ 5 und f_{i} ∈

O(B_{1}(z_{i})) mit f_{i}(z) = f_{i+1}(z) f.a. z ∈ B_{1}(z_{i}) ∩ B_{1}(z_{i+1}) sowie (f_{i}(z))^{2} = z f.a. z ∈ B_{1}(z_{i}), i = 0, …, 5. 2 Punkte

c) Geht das auch mit der Bedingung f_{i}(z)^{3} = z, i = 0, …, 5? Was müsste geändert werden?1 Punkt

3. a) Berechne

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{3} sin x}{1 + x^{4}}dx .

2 Punkte

b) Entscheide, ob folgende Funktion Realteil einer auf einem Gebiet D holomorphen Funktion f ist,

und bestimme gegebenenfalls f ∈ O(D),

cos(x^{2} − y^{2}) sinh(2xy) 2 Punkte

4. a) Berechne lim_{R→∞} ∮_{B_{R}(0)} \frac{dz}{z^{3}+z^{2}+2z+2}. 2 Punkte

b) Es sei f: ℂ̂ → ℂ̂ eine nicht-konstante holomorphe Abbildung und bezeichne mit ord_{z_{o}} f die Nullstellenordnung von f in z_{o}, falls f(z_{o}) = 0 bzw. die Polstellenordnung, falls f(z_{o}) = ∞. Zeige: ∑_{z∈f^{−1}(w)} ord_{z}(f − w) ist wohldefiniert und unabhängig von w. 2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 24.06.