Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 10

1. Es sei L = ℤω_{1} + ℤω_{2} ein gegebenes Gitter.

a) Gibt es eine elliptische Funktion f zu L mit Ord f = 2 und genau zwei einfachen Polen? Begründe! 2 Punkte

b) Es sei f eine nicht-konstant elliptische Funktion zu L. Zeige: f hat mindestens einen Verzweigungspunkt. 2 Punkte

2. Zeige: Jede elliptische Funktion der Ordnung ≤ 2, deren Pole in ihrem Gitter L enthalten sind ist von der Form a + b℘, wobei ℘ die Weierstraß’sche ℘-Funktion zu L ist. 4 Punkte

3. Es sei α > 0. Zeige: Die Reihe

∑_{(m,n)∈ℤ^{2}\\{(0,0)\}} \frac{1}{(m^{2} + n^{2})^{α}}

konvergiert genau dann, wenn das Integral

∫_{\{x^{2}+y^{2}≥1\}} \frac{dx dy}{(x^{2} + y^{2})^{α}}

endlich ist. 4 Punkte

4. Es seien e_{1} = ℘(ω_{1}/2), e_{2} = ℘(ω_{2}/2), e_{3} = ℘(\frac{ω_{1}+ω_{2}}{2} ) die Halbwerte zum Gitter L = ℤω_{1} + ℤω_{2}.

Zeige:

℘^{′2} = 4(℘ − e_{1})(℘ − e_{2})(℘ − e_{3}) .

4 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 17.06.