Prof. M. Schwarz  Funktionentheorie I  SS 2010

Serie 1

1. a) Zeige, dass die ℝ-lineare Abbildung

ℂ → M(2 × 2, ℝ), a + ib ↦ (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) ,

ein injektiver Ring-Homomorphismus ist. 2 Punkte

b) Sei φ ∈ L(ℝ^{2}, ℝ^{2}). Zeige: φ ≠ 0 ist konform genau dann, wenn φ entweder komplex linear oder komplex antilinear ist. 2 Punkte

2. Es sei D ⊂ ℂ ein Gebiet und f: D → ℂ. Zeige: f ist genau dann in z_{o} ∈ D komplex differenzierbar, wenn f als Abbildung ℝ^{2} ⊃ D → ℝ^{2} in z_{o} reell differenzierbar ist und das Differential Df(z_{o}) ∈ L(ℝ^{2}, ℝ^{2}) komplex linear ist. 4 Punkte

3. a) Es sei S^{2} = { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 } ⊂ ℝ^{3} und p: ℂ → S^{2} die folgendermaßen definierte Abbildung: Zu jedem z ∈ ℂ sei l_{z} ⊂ ℝ^{3} die Gerade durch (0, 0, 1) und (x, y, 0) mit z = x + iy. Dann sei p(z) = l_{z} ∩ S^{2}. Bestimme die Koordinatenfunktionen von p und berechne die Umkehrabbildung p^{−1} : S^{2} \ {(0, 0, 1)} → ℂ. (Zur Erinnerung: p^{−1} liefert einen Homöomorphismus zwischen S^{2} \{(0, 0, 1)} und ℂ. Man bezeichnet S^{2} auch als die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von ℝ^{2} und als die Riemannsche Zahlenkugel, und man schreibt manchmal S^{2} ≃ ℂ ∪ {∞} =: ℂ̂) 2 Punkte

b) Zeige: Die folgenden Funktionen f(z) lassen sich mittels p in eindeutiger Weise mit stetigen Abbildungen f̃: S^{2} → S^{2} identifizieren, so daß f̃ = p ∘ f ∘ p^{−1} ( wo jeweils der Ausdruck definiert ist), und bestimme f̃:

f(z) = \frac{1}{z}, f(z) = z^{2}, f(z) = z̄, f(z) = \frac{1}{z − i} .

2 Punkte

4. a) 1 Punkt Es sei ℍ = \{ z ∈ ℂ | Im z > 0 \} die obere Halbebene. Zeige: z ∈ ℍ ⇔ −\frac{1}{z} ∈ ℍ.

b) 3 Punkte Man finde eine Abbildung φ: ℂ → ℂ der Form

φ(z) = \frac{az + b}{cz + d}, a, b, c, d ∈ ℂ

welche ℍ bijektiv auf die offene Einheitskreisscheibe 𝔼 = { z ∈ ℂ | |z| < 1 } abbildet. (Man bestimme natürlich auch φ^{−1}!)

Rückgabe: In den Kasten am 15.04.