%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Probevorlesung
% "Uber die Zerlegung von nat"urlichen Zahlen
%  in die Summe von Quadraten, 29.6.01
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% F"ur Formeln in "Uberschriften
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 \begin{document}
\section*{Zerlegung in Quadratzahlen}
Die  Zerlegung von nat"urlichen Zahlen in die Summe von Quadratzahlen ist
eine alte, abgeschlossene Theorie, die schon von {\sc Fermat} im
17. Jahrhundert und sp"ater von {\sc Euler}, {\sc   Lagrange}  und   {\sc Jacobi}
bearbeitet wurde; die wichtigsten Resultate gehen auf die oben genannten
zur"uck. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Unm"oglichkeitss"atze zu Zerlegungen}
Wir werden sp"ater sehen, dass jede nat"urliche Zahl als Summe von h"ochstens
vier Quadratzahlen darstellbar ist. Dies wurde schon von {\sc Fermat}
vermutet und sp"ater von {\sc Lagrange} bewiesen. Die Anzahl dieser
Darstellungen bestimmte {\sc Jacobi}, siehe Satz\,\ref{j2}.
\nocite{b-Pieper}

\begin{satz} 
{\em (a)} Eine Primzahl der Form $4k+3$ l"asst sich nicht als Summe von zwei
Quadratzahlen schreiben
\\
{\em(b)} Eine Zahl der Form $4^n(8k+7)$ l"asst sich nicht als Summe von
  drei Quadratzahlen schreiben.
\end{satz}


\begin{proof} (a) Die quadratischen Reste modulo 4 sind 0 und 1. Somit l"a"st
  sich 3 nicht als Summe zweier solcher Reste schreiben.
\\
(b) Mit vollst"andiger Induktion "uber $n$. Im Falle $n=0$ betrachten wir die
quadratischen Reste modulo 8; das sind 0, 1 und 4. Die Summe dreier solcher
Reste kann aber niemals den Rest 7 ergeben. Nehmen wir jetzt an, die Zahl
$4^a(8k+7)$ ist nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar. Wir haben zu
zeigen, dass dann auch $4^{a+1}(8k+7)$ nicht als Summe von drei Quadratzahlen
darstellbar ist. Angenommen, es gibt doch eine derartige Darstellung
$$
4^{a+1}(8k+7)=u^2+v^2+w^2.
$$
Dann folgt aus $u^2+v^2+w^2\equiv 0\mod 4$ sofort $u\equiv v\equiv w\equiv
0\mod 2$, denn der Rest $0$ l"asst sich nur als $0=0+0+0\mod 4$ mit drei
quadratischen Resten modulo $4$ darstellen. Dann kann man aber die obige
Gleichung durch $4$ dividieren und man erh"alt einen Widerspruch zur
Induktionsannahme, \cite[Abschnitt 6.2]{b-Kraetzel}.
\end{proof}

\begin{bem} Es ist erw"ahnenswert, dass alle Zahlen, die nicht von der
  Form $4^n(8k+7)$ sind, als Summe von 3 Quadratzahlen darstellbar sind. Dies
  ist  schwierig zu zeigen. Den Beweis findet man etwa in \cite[Band
  I, Teil III, Kap. 4]{b-Landau}
\end{bem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Die Darstellung nat"urlicher Zahlen als Summe von Quadraten}

Im folgenden Abschnitt werden wir die Frage beleuchten, wann eine nat"urliche
Zahl als Summe von zwei bzw.{} vier Quadratzahlen darstellbar ist. Zum Schluss
werden wir --- allerdings  ohne Beweis --- auch Formeln f"ur die Anzahl
solcher Zerlegungen angeben. Haben wir im vorigen Abschnitt einfache
Negativ-Resultate bewiesen, so wollen wir uns nun den etwas schwierigeren
Existenz- und Eindeutigkeitss"atzen f"ur Zerlegungen zuwenden.

\begin{satz} {\em (a)} Es seien $m=a^2+b^2$ und $n=x^2+y^2$. Dann ist
$$mn=(ax+by)^2 +(ay-bx)^2=(ax-by)^2+(ay+bx)^2.$$
\\
{\em (b)} Es seien $m=a^2+b^2+c^2+d^2$ und $n=x^2+y^2+z^2+u^2$. Dann gilt
\begin{xalignat*}{2}
mn&=A^2+B^2+C^2+D^2,\,\text{wobei}&&
\\
A&=ax+by+cz+du,& B&=ay-bx-cu+dz,
\\
C&=az+bu-cx-dy,& D&=au-bz+cy-dx.
\end{xalignat*}
\end{satz}

Bemerkung: Die Formeln aus (a) werden mitunter {\sc Leonardo von Pisa} (1180 --1250),
genannt {\sc Fibonacci}, zugeschrieben. Die Formeln (b) gehen wahrscheinlich
auf {\sc Euler} zur"uck.


\begin{proof} Man erh"alt die Identit"aten unmittelbar durch Ausmultiplizieren
  (binomische Formel). Nat"urlich gibt es auch bei (b) mehrere M"oglichkeiten,
  der Darstellung des Produkts. 
\end{proof}

Somit kann man sich in beiden F"allen auf die Zerlegung von Primzahlen
zur"uckziehen. Oben haben wir gesehen, dass sich die Primzahlen der Form
$4k+3$ nicht als Summe von zwei Quadraten schreiben lassen.

\begin{satz}\label{2qs} Jede Primzahl der Form $4n+1$ l"asst sich eindeutig als Summe von
  zwei Quadratzahlen schreiben.
\end{satz}

\newcommand{\F}[1][]{\mathbbm{F}_{#1}}
Der erste Schritt zum Beweis dises Satzes ist die Feststellung, dass $-1$
quadratischer Rest modulo $p$ ist, wenn $p=4n+1$. Das hei"st, es gibt einen
Rest $x$ mit $x^2\equiv -1\mod p$. Hierf"ur geben wir drei verschiedene
Beweise an. Der erste benutzt ausschlie"slich Kongruenzrechnung und ist daher
am l"angsten. Der zweite benutzt Polynome "uber dem K"orper $\F[p]$. Der
dritte Beweis benutzt, dass die Gruppe der Einheiten $\F[p]^\ast $ zyklisch
ist.

1. Beweis.
\\
\begin{satz}[ (Wilson)] F"ur jede Primzahl $p$ ist
$$ (p-1)!\equiv -1 \mod p.  $$
Wenn umgekehrt diese Kongruenz besteht, dann ist $p$ eine Primzahl.
\end{satz}

\begin{proof} F"ur $p=2$ und $p=3$ ist der Satz sofort einzusehen. Es sei also
  $p>3$. Keine der Zahlen 
$$2,3,\dots, p-2$$
 gen"ugt der Kongruenz $x^2\equiv
  1\mod p$. Denn diese Kongruenz ist gleichwertig mit ${p\vert (x-1)(x+1)}$ und,
  da $p$ Primzahl ist, sind $x\equiv \pm 1\mod p$ die einzigen beiden
 L"osungen.  In der oben genannten Folge von Resten gibt es also zu jedem $x$ ein
  $x'$ mit $x x'\equiv 1\mod p$, wobei $x'\not\equiv x\mod p$. Die obigen
  $p-3$ Reste lassen sich also zu Paaren anordnen, deren Produkt immer kongruent $1$
  modulo $p$ ist. Somit gilt
$$ (p-2)!\equiv 1\mod p,\quad\text{bzw.}\quad (p-1)!\equiv -1\mod p.
$$
F"ur jede zusammengesetzte Zahl $n=ab$ ist $(n-1)!\equiv 0\mod n$, da die
Faktoren $a$ und $b$ beide in  den Zahlen $1,\dots, n-1$ als Faktoren
aufgehen. 
\end{proof}

\begin{satz} \label{hs} Ist $p$ eine Primzahl der Form $4n+1$, so ist
$$\left[ \left( \frac{p-1}{2}\right)!\right]^2\equiv -1 \mod p.
$$
\end{satz}

\begin{proof} Nach dem {\sc Wilson}schen Satz gilt
\begin{align*}
-1&\equiv (p-1)!\equiv 1{\cdot} 2\cdots 2n{\cdot}(2n+1)\cdots 4n
\equiv 1\cdots 2n (-2n)(-2n+1)\cdots (-1)
\\
&\equiv (2n)!(-1)^{2n}
\equiv\left[ \left( \frac{p-1}{2}\right)!\right]^2\mod  p.
\end{align*}
Insbesondere erh"alt man f"ur 
$x\equiv  \left( \frac{p-1}{2}\right)!\mod p$, dass $x^2\equiv -1\mod p$.
\end{proof}

\newcommand{\leg}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}

Zweiter Beweis.
\\
\begin{satz}[(Eulersches Kriterium)] Es sei $p$ eine Primzahl und $a\in\Z$,
  $p\nmid a$. Dann
  gilt
\begin{align}\label{euler}
\leg{a}{p}\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \mod p
\end{align}
\end{satz}

\begin{proof} Wegen $\ggt(a,p)=1$ gilt nach dem Kleinen Satz von {\sc Fermat}
\[
0\equiv
a^{p-1}-1\equiv\left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac{p-1}{2}}+1\right)
\mod p.
\]
Somit gilt entweder $a^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv 0\mod p$ oder
$a^{\frac{p-1}{2}}+1\equiv 0\mod p$, da $p$ eine ungerade Primzahl ist. Ist
$a$ einer der $(p-1)/2$ quadratischen Reste $1^2, 2^2,\dots, ((p-1)/2)^2$
(mehr quadratische Reste kann es nicht geben, da nicht mehr Quadratzahlen in
$\F[p]$ existieren)
also etwa $a\equiv x^2\mod p$, dann gilt $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv
x^{p-1}\equiv 1\mod p$. Umgekehrt hat die Gleichung $x^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv
0\mod p$ h"ochstens $(p-1)/2$ L"osungen. Somit gilt genau f"ur die $(p-1)/2$
quadratischen Nicht-Reste $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \mod p$.
\end{proof}

Setzt man insbesondere $a=-1$ ein, so hat man 
\[
\leg{-1}{p}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\mod p.
\]
Somit ist $-1$ quadratischer Rest.

Dritter Beweis: Da die multiplikative Gruppe der primen Reste $\F[p]^\ast$
zyklisch mit der Ordnung $p-1=4n$ ist, existieren auch Elemente der Ordnung
$4$, etwa $x^4\equiv 1\mod p$. Also gilt $(x^2-1)(x^2+1)\equiv 0\mod p$. Da
aber $x$ nicht die Ordnung $1$ oder $2$ hat, gilt $x^2-1\not\equiv 0\mod p$ und
somit $x^2\equiv -1\mod p$.


\begin{satz}[ (Thue)] Es sei $p$ eine Primzahl, $e$ und $f$ zwei nat"urliche Zahlen mit
  $e,f\le p-1$ und $p<ef$. Dann lassen sich alle Reste $r$ modulo $p$ auf die
  folgende Gestalt bringen:
$r\equiv 0\mod p$ oder 
$$ r\equiv\pm \frac{x}{y}\mod p,\quad\text{ wobei }\quad
1\le x\le e-1\quad\text{und}\quad 1\le y\le f-1.
$$
\end{satz}

\begin{proof} Es sei  $r\not\equiv 0\mod p$. Wir betrachten die $ef$ Reste
  $v+rw$, wobei $0\le v<e$ und $0\le w <f$ gelte. Weil $ef>p$, m"ussen
  mindestens zwei dieser Reste "ubereinstimmen, etwa
$$ v_1+rw_1\equiv v_2+rw_2 \mod p.$$
Der Fall $w_1=w_2$ ist aber unm"oglich, da sonst auch $v_1=v_2$ gelten w"urde,
und die Paare sind gleich. Es gilt also
$$
r\equiv \frac{v_2-v_1}{w_1-w_2}\equiv \pm\frac{v_1-v_2}{w_1-w_2}\mod p
$$
und $\abs{v_1-v_2}<e$ und $\abs{w_1-w_2}<f$.
\end{proof}

\begin{proof}[(von Satz\,\ref{2qs})] Wir richten uns nach \cite[Kapitel VII,
  Abschnitt 3]{b-Neiss}.
Nach der obigen Satz\,\ref{hs} gibt es eine L"osung der Kongruenz $z^2\equiv -1\mod
p$. Wir wenden den Satz von {\sc Thue} mit $e=f$ an, so dass $e^2>p$
gilt. Dabei sei $e$ die kleinste derartige Zahl. Es gibt also zwei nat"urliche
Zahlen $x$ und $y$ mit $0<x,y<e$, so dass $z\equiv \pm x/y\mod p$ gilt. Dann
ist aber
$$ \left(\frac{x}{y}\right)^2\equiv z^2\equiv-1\mod p$$
und somit $x^2+y^2=pr$ f"ur eine gewisse nat"urlichen Zahl $r$. Wegen $x,y<e$
ist $x^2<p$ und auch $y^2<p$, denn sonst w"are $e$ nicht die kleinste Zahl
mit $e^2>p$. Somit ist $x^2+y^2=pr<2p$. Also gilt $r=1$ und somit $x^2+y^2=p$.
\\
Zur Eindeutigkeit. Angenommen, $p=x^2+y^2=u^2+v^2$ sind zwei Darstellungen
f"ur $p$. Dann gilt $-1\equiv x^2/y^2\equiv u^2/v^2\mod p$. Hieraus folgt
$$\frac{x}{y}\equiv \pm \frac{u}{v}\equiv \mp \frac{v}{u}\mod p.$$
Durch Vertauschung von $u$ und $v$ kann man jedenfalls erreichen, dass
$x/y\equiv u/v\mod p$ bzw.{} $xv-yu\equiv 0\mod p$ gilt.
Nun ist aber 
$$ p^2=(x^2+y^2)(u^2+v^2)=(xu+yv)^2+(xv-yu)^2.$$
Da der letzte Summand durch $p^2$ teilbar sein muss, muss er sogar gleich 0
sein, also $xv=yu$. Wegen $\ggt(x,y)=1$ und $\ggt(u,v)=1$ folgt hieraus $x=u$
und $y=v$.
\end{proof}

In sch"onster Allgemeinheit lautet der 2-Quadrate Satz dann
 
\begin{satz}\label{d1} Eine nat"urliche Zahl $n$ ist genau dann 
als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar,  wenn jeder
Primfaktor der Form $4k+3$ in gerader Anzahl in $n$ auftritt. 
\end{satz}


\subsubsection*{Potenzreihen} 

In diesem Abschnitt soll ganz knapp angedeutet
werden, wie man Potenzreihen zum Abz"ahlen von L"osungen nutzen kann.
\renewcommand{\d}[2][n]{\mathrm{d}_{#2,4}(#1)}

\begin{satz}[ (Jacobi, 1828)]\label{j1} Die Anzahl der Darstellungen  einer nat"urlichen
  Zahl $n$ als Summe von 2 Quadraten ist gleich
$$ 4(\d{1}-\d{3}).$$
Dabei ist $\d{r} $ die Anzahl der Teiler von $n$ (einschlie"slich $1$ und
$n$), die bei der Division durch $4$ den Rest $r$ lassen.
\end{satz}

\begin{satz}[ (Jacobi, 1829)] \label{j2} Die Anzahl der Darstellungen einer nat"urlichen
  Zahl $n$ als Summe von 4 Quadraten ist gleich 
$$ 8\sum_{d\vert n,\, 4\nmid d} d.$$
\end{satz}

\begin{bem} In beiden S"atzen z"ahlen die Darstellungen
  $5=1^2+2^2=(-1)^2+2^2=1^2+(-2)^2=(-1)^2+(-2)^2=2^2+1^2=2^2+(-1)^2=(-2)^2+1^2=(-2)^2+(-1)^2$
  alle  als verschiedene Darstellungen. Tats"achlich ist $\d[5]{1}=2$, da 1
  und 5 beides Teiler  von 5 sind, die den Rest 1 lassen. Ferner ist
  $\d[5]{3}=0$ und somit kommt man auf 8 Darstellungen. Darstellungen mit 0
  als Summand werden ebenfalls mitgez"ahlt: $4=(\pm 1)^2 +(\pm 1)^2 +(\pm 1)^2
  +(\pm 1)^2$ (16 M"oglichkeiten) und $4=(\pm 2)^2+0^2+0^2+0^2= 0^2+(\pm
  2)^2+0^2+0^2=0^2+0^2+(\pm 2)^2+0^2= 0^2+0^2+0^2+(\pm 2)^2$ (8
  M"oglichkeiten). Tats"achlich ist $\sum_{d\vert 4,\, 4{\nmid} d}
  d=1+2=3$ und es gibt 24 Zerlegungen von 4 in 4 Quadrate.
\end{bem}  

\begin{bem} Der Satz\,\ref{j2} hat den Satz von {\sc Lagrange} zur Folge: Jede
  nat"urliche Zahl l"asst sich als Summe von 4 Quadratzahlen schreiben. Denn
  die im Satz angegebene Anzahl von Zerlegungen ist f"ur alle $n$ eine {\em
  positive} nat"urliche Zahl, da $d=1$ als Teiler stets mitgez"ahlt
  wird.
\end{bem}

Der Ausgangspunkt f"ur unseren Beweis ist dabei der folgende
Satz.  Einen elementaren Beweis dieses Satzes --- durch reines Abz"ahlen von
Partitionen ---  findet
man in \cite[Chapter~2.2]{b-Bressoud}.

\begin{satz}[ Jacobi-Tripelprodukt-Identit"at] \label{s-jacobi}
F"ur $\abs{q} <1$ und alle $x$ gilt:
\begin{align}\label{e-jacobi}
\prod_{i=1}^\infty (1+q^i
x)(1+q^{i-1}x^{-1})(1-q^i)=\sum_{n\in\Z}q^{n(n+1)/2}x^n.
\end{align}
\end{satz}
 
Durch trickreiche Umformungen \cite{a-Hirschhorn} leitet man hieraus  die
folgenden beiden Identit"aten ab
\begin{align}
\left(\sum_{n\in\Z}q^{n^2}\right)^2&=1+4\sum_{k\ge1, l\ge
  0}(q^{k(4l+1)}-q^{k(4l+3)})=1+4\sum_{n\ge 1}(\d{1}-\d{3})q^n,
\label{e2}
\\
\left(\sum_{n\in\Z}q^{n^2}\right)^4&=
1+8\sum_{n\ge 1}\left(\sum_{d\vert n,\, 4{\nmid} d}d \right) q^n.\label{e4}
\end{align}

Schauen wir uns die linke Seite von \rf[e2] einmal genauer an. Nach formalem 
Ausmultiplizieren der beiden unendlichen Reihen lautet der allgemeine Summand 
$a_rq^r$, wobei f"ur ein festes $r$ alle Summanden ${q^r=q^{n_1^2} q^{n_2^2}}$ mit
$n_1,n_2\in \Z$ zu ber"ucksichtigen sind. Jede L"osung $(n_1, n_2)$ der
Gleichung $r=n_1^2+n_2^2$ liefert also einen Summanden $q^r$. Also ist  $a_r$
die gesuchte Anzahl.

%\bibliographystyle{../hab/mybst}
%\bibliography{../hab/bibdat}
\begin{thebibliography}{1}
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  sign matrix conjecture}, MAA Spectrum, Cambridge University Press, Cambridge,
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Hirschhorn, M.~D.: Partial fractions and four classical theorems of number
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  Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1991

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\end{thebibliography}
\end{document}

