Seminar Numerik partieller Differentialgleichungen

Seminar Numerik partieller Differentialgleichungen
Nicht-Standard Finite Elemente Methoden
(SS 2020)

Jun.-Prof. Dr. Mira Schedensack
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut

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Teilnehmerkreis:

Das Seminar richtet sich an Interessierte mit angestrebtem Abschluss Diplom-Mathematik und Diplom-Wirtschaftsmathematik ab dem 3. Studienjahr.

Vorkenntnisse:

Es wird grundlegendes Wissen über Partielle Differentialgleichungen und Finite- Elemente-Methoden benötigt.

Inhalt:

Nicht-Standard-Finite-Elemente-Methoden wie zum Beispiel nicht-konforme FEM, gemischte FEM oder diskontinuierliche Galerkin FEM spielen eine wichtige Rolle in vielen Anwendungen, beispielsweise für die Stokes-Gleichungen aus der Strömungsmechanik, für die lineare Elastizität aus der Festkörpermechanik und für Plattenprobleme aus der Strukturmechanik. Dieses Seminar beschäftigt sich mit verschiedenen nicht-standard FEMs, ihren Vorteilen in Anwendungen und in der praktischen Umsetzung. Ein Fokus soll auf der Fehleranalysis liegen. Während eine Best-Approximationseigenschaft für konforme FEMs direkt aus der Galerkin-Orthogonalität folgt, werden neue Techniken benötigt, um ein solches Resultat für nicht-standard FEMs zu folgern. Die sogenannte Medius-Analysis von [Gudi2010, Braess2009, CPS2012] zeigt, dass die Fehler verschiedener standard und nicht-standard FEMs für das Poisson-Problem äquivalent sind.

Literatur:

T. Gudi. A new error analysis for discontinuous finite element methods for linear elliptic problems. Math. Comp., 79(272):2169-2189, 2010.
D. Braess. An a posteriori error estimate and a comparison theorem for the nonconforming P1 element. Calcolo, 46(2):149-155, 2009.
C. Carstensen, D. Peterseim, and M. Schedensack. Comparison results of finite element methods for the Poisson model problem. SIAM J. Numer. Anal., 50(6):2803-2823, 2012.