Dr.Quapp: Statistik für Mathematiker mit SPSS

8. Übung - Faltung + Grenzwertsatz

1.

Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei diskreten Zufallsgrößen $X\sim BINOM(n_x,p)$, und $Y\sim BINOM(n_y,p)$ und bilden Sie damit die neuen Zufallsgröße $W=X+Y$. Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der Binomialverteilung, d.h. berechnen Sie die resultierenden Parameter $n_w$ und $p_w$.

2.

Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei diskreten Zufallsgrößen $X, Y \sim POISSON(\lambda _x)$, $POISSON(\lambda _y)$ und bilden Sie damit die neuen Zufallsgrößen $W = X + Y .$ Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der Poissonverteilung, d.h. berechnen Sie den resultierenden Parameter $\lambda _w$ für ein $w=POISSON(\lambda _w, k)$.

3.

Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei Zufallsgrößen $X, Y \sim N(a_x,\sigma _x), N(a_y,\sigma _y)$ und bilden Sie damit neue Zufallsgrößen $W=X+Y$ und $V=X-Y$. Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der Normalverteilung, d.h. berechnen Sie die resultierenden Mittelwerte und Streuungen von $W$ und $V$.

4.

Erzeugen Sie (je 200 Zeilen) von zwei Zufallsgrößen $X\sim CHISQ(df_x)$, und $Y\sim CHISQ(df_y)$ und bilden Sie damit die neuen Zufallsgrößen $W = X + Y .$ Überprüfen Sie das bekannte Faltungsverhalten der $\chi^2$-Verteilung, d.h. berechnen Sie den resultierenden Parameter $df_w$.
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5.

Die Binomialverteilung $BINOM(n,p)$ läßt sich durch die Normalverteilung approximieren, wenn $p$ nicht zu nahe an 0 oder 1 ist, und wenn $n$ hinreichend groß ist (zentraler Grenzwertsatz). Vergleichen Sie mit $\rightarrow$Streu-Diagramm die Verteilungsfunktionen von N(0,1) und der entsprechend verschobenen Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für $p$=1/3 und $n$=10, 30, 100, und 300.
Hinweis: "verschoben" verwendet, wenn $B\sim BINOM(n,p)$ ist, dann sollte $(B-np)/\sqrt{np(1-p)}$ näherungsweise nach $N(0,1)$ verteilt sein. In SPSS kann damit die Binomialverteilung auf einer ganzzahligen Achsenvariablen $x$ ( mit $B_n$=CDF.BINOM(x,n,1/3) ) verschoben werden zu der neuen Achsenvariablen $x_n$ durch $x_n=(x-np)/\sqrt{np(1-p)}$. Mit dieser sind je zwei Verteilungen $B_n$ und $N(0,1)$ gleichzeitig betrachtbar. Die 4 Fälle für $x_n$ sind einzeln zu behandeln.

Führen Sie zu allen Aufgaben auch die entsprechenden theoretischen Rechnungen durch!