Hilfe zur 7. Übung - Operationen mit Zufallsvariablen
1.]
Es sei die summierte Augenzahl beim Wurf mit 3 Würfeln.
a) Bestimmen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten für
.
Für welches
ist
maximal?
b) Erzeugen Sie dieses Experiment mit SPSS, indem Sie drei Variable
und
aus gleichmäßig verteilten Zufallszahlen erzeugen, und
als
Summe dieser Zufallszahlen darstellen.
Prüfen Sie das Resultat durch ein Balkendiagramm.
c) Mit bezeichnen wir das Ereignis, daß bei einem Wurf
alle Augenzahlen unterschiedlich sind. Bestimmen Sie
und
bestimmen Sie
für
.
Da die Zufallsvariablen addiert werden, muß ihre Verteilungsdichte aus
einer Faltung berechnet werden. Für zwei Zufallsvariable und
ergibt sich beim Würfel:
![]() |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ||
![]() |
1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 25 | 27 | 27 | 25 | 21 | 15 | 10 | 6 | 3 | 1 |
zu b) Die Zufallsvariablen sind aus einer Gleichverteilung in
[1.0,6.9999] durch Abschneiden auf ganze Zahlen erzeugbar:
TRUNC(RV.UNIFORM(1,6.9999)). Man verwende etwa
216 Werte, oder Vielfache davon:
.
zu c) Die Anzahl der günstigen Fälle ist eine Variation ohne Wiederholung
mit =6,
=3, also 120 Fälle, damit ist
.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, wenn
eingetreten ist, kann leicht
abgezählt werden:
Bei
ist sie Null (diese Fälle kommen nicht vor),
bei
ist sie je 3!,
bei
ist sie je
, und
bei
ist sie je
.
In SPSS kann eine neue Variable definiert werden unter Zuhilfenahme des
Falls-Fensters:
Falls
ist.
Die Statistik von SB sollte obige Werte annähern. In einem Balkendiagramm kann
man
oder
ansehen, wobei bei letzterem noch unter
Optionen die
Darstellung der "Fehlenden Werte" abgeschaltet werden sollte.
2.]
a) Für welche Werte ist
eine Dichte?
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion
zu dieser Dichte!
b) Es sei . Bestimmen Sie die Dichte und
Verteilungsfunktion von
, wobei
die
Verteilungsfunktion aus a) ist (Inversionsmethode).
c) Bestimmen Sie mir SPSS Modalwert, Median, und Quartile von .
Benutzen Sie dazu N=200 Werte von
.
Es ist .
3.]
Berechnen Sie 200 Werte der Zufallsvariablen mit Gleichverteilung
mit etwa a=10.
Berechnen Sie die neue Zufallsvariable
Sei eine Zufallsvariable und
, wobei
z.B. stückweise
monoton und differenzierbar sei. Dann ist die Dichte von