(* FS 2013 , nb zur FourierTransformation,  W.Quapp *)

(* Vorspann: Auch LaplaceTransform gibt Auskunft ueber die Frequenz einer Schwingung *)

l1=LaplaceTransform[Sin[a t],t,s]
l2=LaplaceTransform[Cos[a t],t,s]

Plot[{{l1,l2} /. a-> 3},{s,0,9}]

(*  l1 startet bei 1/a, l2 hat bei a den maximalen Wert 1/2a *)

(* Vorspann2: DiracDelta *)

dela[t_,to_,a_]:=1/(2a) /; to-a ≤  t ≤ to+a
dela[t_,to_,a_]:=0            /;   t > to+a 
dela[t_,to_,a_]:=0            /;   t < to-a  
Plot[dela[t,0,0.25],{t,-1,1},PlotStyle->Thick,AxesLabel->{t,"del"}]

fuerPlot=Table[dela[t,0,a],{ a,0.01,0.05,0.01}]
grau=Table[GrayLevel[i],{i,0,0.7,0.7/4}]
Plot[Evaluate[fuerPlot],{t,-0.1,0.1},PlotStyle->grau,AxesLabel->{t,"del"},PlotRange->All,AspectRatio->1.5]

Integrate[Exp[2. t]  1/(2 0.01),{t,1.-0.01,1.+0.01}]
Exp[2 t] /. t->1.

LaplaceTransform[DiracDelta[t-to],t,s]

LaplaceTransform[DiracDelta[t-1],t,s]

(* Setze interessante Funktionen in FourierTransform ein *)
FourierTransform[Exp[-t^2 /2],t,ω]

FourierTransform[Sin[a 2 Pi t],t,ω]

FourierTransform[Cos[a 2 Pi t],t,ω]

FourierTransform[1,t,ω]

FourierTransform[HeavisideTheta[t],t,ω]

(Sqrt[2 π]) *
FourierTransform[UnitStep[t+ll]*UnitStep[-t+ll]/(2ll),t,ω] // ExpToTrig

Plot[UnitStep[-t+1]*UnitStep[t+1],{t,-2,2}]

Plot[{((Sin[ll ω] UnitStep[2 ll])/(ll ω)) /. ll->2},{ω,-3Pi,3Pi},PlotRange->All,AxesLabel->{ω,f}]

(* Etwas aehnliches nochmal mit diskreten Daten *)

data=Join[Table[0,{450}], Table[1,{100}],Table[0,{450}]];
ListPlot[data,Joined->True]
ListPlot[Abs[Fourier[data]],Joined->True,PlotRange->All]

usefull=Partition[Abs[Fourier[data]],200];
ListPlot[usefull[[1]],Joined->True,PlotRange->All]

(* Ein RechteckImpuls ergibt unter der FourierTransformation eine
  stark gedaempfte Schwingung, man beachte die durch ABS immer ins Positive gedrehten Werte *)

(Sqrt[2 π]) *FourierTransform[Cos[a t]  UnitStep[t+ll]  UnitStep[-t+ll]/2,t,ω]

TrigReduce[%85] /.  UnitStep[2 ll]->1

(*  Also ergibt sich wieder eine gedaempfte Schwingung *)
Plot[{(((a Cos[ll ω] Sin[a ll]-ω Cos[a ll] Sin[ll ω]) )/((a^2)-(ω^2)))/. {ll->2, a->2}},{ω,-3Pi,3Pi},PlotRange->All,AxesLabel->{ω,f}]

Plot[ DiracDelta[-2  π 20+ω] ,{ω,0, 4 20 Pi}]

(* Also : DiracDelta ist keine normale Funktion *)
Betrachte Welle in endlichem Zeitintervall   fuer   a=20

data=Table[N[Sin[20 2 Pi  n/400]],{n,400}];
ListPlot[data,Joined->True]
ListPlot[Abs[Fourier[data]],Joined->True,PlotRange->All]

Betrachte  Addition zweier  Wellen  in endlichem Zeitintervall   fuer   a_1=20
und a_2=80

data=Table[N[Sin[20 2 Pi  n/400] + Sin[80 2 Pi  n/400]],{n,400}];
ListPlot[data,Joined->True]
ListPlot[Abs[Fourier[data]],Joined->True,PlotRange->All]

Betrachte  Addition zweier  Wellen  in endlichem Zeitintervall   fuer   a_1=20
und a_2=80 mit 2 verschiedenen Intensitaeten

data=Table[N[1*Sin[20 2 Pi  n/400] + 0.75*Sin[80 2 Pi  n/400]],{n,400}];
ListPlot[data,Joined->True]
ListPlot[Abs[Fourier[data]],Joined->True,PlotRange->All]

(* nb zu FourierReihen, vergleiche:  Mma, S.680 

next: stark verrauschte 2 Wellen mit verschiedenen Frequenzen, und Intensitaeten: in der Zeitdastellung herrscht das Chaos 
zuerst glatt dann verrauscht *)

data1=Table[N[1*Sin[30 2 Pi n/250]+0.6*Sin[21 2 Pi n/250]],{n,250}];
b1=ListPlot[data1[[Range[1,100]]],Joined->True]

data=Table[N[1*Sin[30 2 Pi n/250]+0.6*Sin[21 2 Pi n/250]+Random[ ]-1/2],{n,250}];
ListPlot[data,Joined->True]
ListPlot[Abs[Fourier[data]],Joined->True,PlotRange->All]

usefull=Partition[Abs[Fourier[data]],80];
ListPlot[usefull[[1]],Joined->True,PlotRange->All]

(* Die verrauschten Daten koennen 'gefiltert' werden indem
   die inverse Fourier Transformation eingesetzt wird *)

filter=Join[Table[1,{80}], Table[0,{170}]];
fdata=InverseFourier[ Fourier[data]  filter ];
b2=ListPlot[1.5*Re[fdata[[Range[1,100]]]],Joined->True,PlotRange->All]

Show[b1,b2]

(* Der Vergleich zeigt, dass die Frequenzen sehr gut rekonstruiert sind *)

filter2=Join[Table[0,{14}], Table[N[Exp[-(x-6)^2/6]],{x,11}] ,Table[N[Exp[-(x-6)^2/6]],{x,11}] , Table[0,{214}]];
ListPlot[filter2[[Range[1,60]]],Joined->True,PlotRange->All]

fdata=InverseFourier[ Fourier[data]  filter2 ];
b3=ListPlot[2*Re[fdata[[Range[1,100]]]],Joined->True,PlotRange->All]

Show[b1,b2,b3]

Envelope of Beat Production

Beats are caused by the interference of two waves at the same point in space.The plot of the variation of resultant amplitude with time shows the periodic increase and decrease for two sine waves.

Plot[{Sin[10 t], Sin[50 t]},{t,0,0.25Pi}]
Plot[{2.02 Sign[Sin[10t ]]Sqrt[Abs[Sin[10t ]]],
-0.275*Sign[Sin[10t ]]Sqrt[Abs[Sin[10t ]]],
Sin[10 t]+ Sin[50 t]},{t,0,0.25Pi}]

The image below is the beat pattern produced by a London police whistle,which uses two short pipes to produce a unique and piercing three-note sound.

g=Import["londbeat.gif"]