Dr.Quapp HS 2002

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Lineare Algebra - Lösungen zur 10. Übung (zum 6. 1. 2003)

42.

Eine Permutationsmatrix entsteht aus der Einheitsmatrix, indem man z.b.$r$-mal eine Zeilenvertauschung vornimmt. Umgekehrt kann man jede Permutationsmatrix in die Einheitsmatrix überführen, indem man diese entsprechenden $r$ Zeilenvertauschungen invers vornimmt. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich das Vorzeichen der Determinante um $(-1)$, also bei $r$ Zeilenvertauschungen um $(-1)^r$. Die gesuchte Determinante ist $+1$ oder $-1$.

43.

Die Lösung durch eine Zeilenstufen-Berechnung ist bei Aufgabe (a)

$$\left( \begin{array}{ c } 1\\ 0\\ -2 \end{array}\right) ... ...begin{array}{ c } 8\\ 21\\ -2\\ 3 \end{array}\right) \ .$$

44.

Wäre $V$ ein VR mit 3 Elementen, so ist es naheliegend anzunehmen, dass diese $\{ -\vec{x}, \vec{0}, \vec{x} \}$ sind, weil $\vec{0}$ ein Element sein muss, und zu $\vec{x}$ soll es das entgegengesetzte Element $-\vec{x}$ geben. Sei wie immer $I\!\!K = I\!\!R$ oder $I\!\!\!C$, und $\lambda \in I\!\!K \setminus \{-1,0,1\}$, dann ergibt sich bei den Rechenregeln für $I\!\!K$ sofort, dass $\lambda \vec{x} \in\!\!\!\!\vert V$. Somit kann es keinen VR über $I\!\!K$ mit 3 Elementen geben.

45.

Sei $V$ der VR der (2,2) Matrizen mit reellen Einträgen.
(a) $W=\{ A \in V \vert Det\,A =0 \}$.
Wäre $W$ ein VR, so müsste die Addition seiner Elemente in $W$ bleiben. Ein Gegenbeispiel bringt diese Annahme zu Fall: Wähle

$$A_1=\left( \begin{array}{c c } 1&0\\ 0&0\\ \end{array}\r... ...left( \begin{array}{c c } 0&0\\ 0&1\\ \end{array}\right) .$$

Es ist offenbar $A_1+ A_2=E$, und obwohl die $A_i \in W$ sind, ist $Det\,(A_1 +A_2)=1$.
Also ist $W$ kein Untervektorraum von $V$.

(b) $W=\{ B \in V \vert B^2 =B \}$.
Wäre $W$ ein VR, so müsste wieder die Addition seiner Elemente in $W$ bleiben. Ein Gegenbeispiel bringt auch diese Annahme zu Fall: Wähle

$$B=\left( \begin{array}{c c } 0&1\\ 0&1\\ \end{array}\rig... ...left( \begin{array}{c c } 0&1\\ 0&1\\ \end{array}\right) .$$

Es ist aber offenbar $B+ B = 2 B \neq (B+B)^2 =4 B$.
Also ist $W$ kein Untervektorraum von $V$.
Bemerkung: Matrizen dieser Menge $W$ mit $B^2 = B$ sind sogenannte Projektoren.

45.c)

Wir haben zu betrachten:

$$\alpha \left( \begin{array}{c c } 1&1\\ 1&1\\ \end{array}... ...left( \begin{array}{c c } 0&0\\ 0&0\\ \end{array}\right) ?$$

Das sind 4 Gleichungen eines homogenen Systems für die 3 Koeffizienten. Aus der 3.Gleichung (für die untere linke Komponente) ergibt sich direkt $\alpha =0$, dann aus der 4.Gleichung (für die untere rechte Komponente) $\beta =0$, und somit auch noch $\gamma =0$. Also sind die 3 Elemente linear unabhängig.