Lehre WS 2018/19
Vorlesung (3+1 SWS) "Harmonische Analysis", Mo und Mi 11:15-12:45, HS 19
Fourier-Theorie spielt nicht nur in vielen naturwissenschaftlichen Anwendungsbereichen
eine tragende Rolle. Ebenso ist sie Grundlage für die Untersuchung von Operatoren
und dynamischen Systemen über diversen Funktionenräumen.
Wir beginnen mit klassischer Fourier-Theorie in euklidischen Räumen und arbeiten
uns von dort zur Darstellungstheorie lokalkompakter kommutativer Gruppen vor. Zentrale
Themen werden das Plancherel Theorem, die Poisson Summationsformel, sowie Pontryagin Theorie
sein. Letztere ordnet jeder lokalkompakten Gruppe die duale Gruppe zu und ist damit
Ausgangspunkt für eine geschlossene Theorie für abstrakte Gruppen.
Falls die Zeit es zulässt widmen wir uns auch gewissen Beispielen nicht-abelscher Gruppen
und ihrer Fourier-Theorie in Form von unitären irreduziblen Darstellungen.
Eine weitere Möglichkeit für den letzten Teil der Vorlesung sind Anwendungen der
erarbeiteten Begriffe und Sätze auf die Diffraktionstheorie mathematischer Quasikristalle.
Voraussetzungen sind das mathematische Grundstudium (insb. Maßtheorie).
Kenntnisse der Funktionalanalysis sind von Vorteil, aber kein Muss zum Besuch der Vorlesung.
An einigen Vorlesungsterminen soll der Stoff durch eine Übung vertieft werden.
Diese lebt vor allem von Ihrer Mitarbeit.
This course can also be given in English. In case of any questions, just send an email.
Literaturempfehlung:
Deitmar, Anton: A first course in Harmonic Analysis,
Universitext. Second edition, Springer, New York 2005.
Deitmar, Anton und Echterhoff, Siegfried: Principles of Harmonic Analysis,
Universitext. Second edition, Springer, Cham, 2014.
Folland, Gerald B.: Harmonic analysis in phase space,
Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, Princeton NJ, 1989.
Hewitt, Edwin und Ross, Kenneth A.: Abstract harmonic analysis. Vol I. Structure of topological
groups, integration theory, group representations.,
Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 115.
Springer Berlin-New York, 1979.
Seminar (2 SWS) "Irrfahrten auf Graphen und Gruppen", Di 9:15-10:45, SG 3-11
Eine Vorbesprechung findet am 16.10.2018, 9:15h im SG 3-11statt.
Der Random Walker (Irrfahrer) in der Ebene, der vor jedem Schritt die Richtung uniform i.i.d.
auswürfelt, kommt immer irgendwann wieder zu Hause an. Mathematisch spricht man von
Rekurrenz: die einfache Irrfahrt auf Z2 ist rekurrent, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1 gelangt
die Trajektorie an ihren Anfangspunkt zurück. Die einfache Irrfahrt in Z3 hingegen is transient,
d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1 verliert sie sich im Unendlichen und kommt nicht mehr zurück.
In diesem Seminar betrachten wir Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten in allgemeineren
geometrischen Situationen. Dies betrifft insbesondere Gruppen mit Graphenstruktur wie Z2 oder Z3,
aber auch Graphen ohne algebraische Struktur. Dabei werden wir Zusammenhänge zwischen den
Rekurrenzphänomenen von Irrfahrten und den geometrischen sowie spektralen Eigenschaften
der zugrundeliegenden Graphen studieren.
Besonderes Augenmerk wird auf dem Studium der Green Funktion liegen.
Voraussetzungen sind das mathematische Grundstudium (insb. Stochastik und Maßtheorie),
etwas Funktionalanalysis und Freude an Konzepten der Analysis und diskreter Geometrie.
This course can also be given in English. In case of any questions, just send an email.
Literatur (wird noch ergänzt) :
Lawler, Gregory F. und Limic, Vlada: Random walk: a modern introduction,
Cambridge Studies in Advances Mathematics 123. Cambridge University Press, Cambridge 2010.
Woess, Wolfgang: Random walks on infinite graphs and groups,
EMS Textbook in Mathematics. EMS Zürich, 2009.
Woess, Wolfgang: Denumerable Markov chains. Generating functions, boundary theory, random walks on trees.,
Cambridge Tracts in Mathematics 138. Cambride University Press, Cambridge, 2000.