Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2007/08

Lösungen zu Serie 4

1.

2. Bestimme die Asymptotenkurven und die Hauptkrümmungslinien auf dem Helicoid

f(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ, cr), c > 0 ,

und zeige, daß die mittlere Krümmung verschwindet. Wir berechnen die Hauptkrümmungslinien wie folgt:

f_{r} = (cos ϕ, sin ϕ, 0),
f_{ϕ} = (−r sin ϕ, r cos ϕ, c),
f_{r} ∧ f_{ϕ} = (c sin ϕ, −c cos ϕ, r),
n = \frac{1}{\sqrt{c^{2} + r^{2}}} (c sin ϕ, −c cos ϕ, r),
f_{rr} = 0,
f_{rϕ} = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
f_{ϕϕ} = (−r cos ϕ, −r sin ϕ, 0),
L = 0, M = −\frac{c}{\sqrt{c^{2} + r^{2}}} , N = 0, .

Der Shape-Operator S ist definiert durch II(v, w) = I(Sv, w), also als Matrix S = I^{−1}II (!), also

(\begin{matrix}0 & −\frac{c}{(c^{2}+r^{2})^{3/2}} \\ −\frac{c}{\sqrt{c^{2}+r^{2}}} & 0 \end{matrix} )

Die Eigenwerte berechnen sich daraus zu λ_{±} = ±\frac{c}{r^{2}+c^{2}} , und die zugehörigen Eigenvektoren (bis auf skalare Vielfache) zu

e_{±} = (\begin{matrix}∓\sqrt{c^{2} + r^{2}} \\ 1 \end{matrix})

Die Differentialgleichungen für die Hauptkrümmungskurven sind also gegeben durch

\begin{aligned}ṙ & = ∓\sqrt{r^{2} + c^{2}}, \\ ϕ̇ & = 1 \end{aligned}

Mittels Substitution von r = c sinh u(t) berechnen sich die Lösungen zu

\begin{aligned}r_{±}(t) & = c sinh(u_{o} ∓ t), \\ ϕ(t) & = ϕ_{o} + 1 . \end{aligned}

Wir finden somit die Hauptkrümmungskurven gegeben als γ_{±} = ( ∓ c sinh t cos(ϕ_{o} + t), ∓c sinh t sin(ϕ_{o} + t), c(ϕ_{o} + t)) .