Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2007/08

Serie 9

1. Es sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ∇: X (M) × X (M) → X (M) der zugehörige Levi-Civita-Zusammenhang.

a) Zeige: Für zwei 1-Formen α, β ∈ Ω^{1}(M) gilt α = β ⇔ α(X) = β(X) f.a. X ∈ X (M) .

b) Zeige: ∇α: X (M) → Ω^{1}(M) mit (∇_{X}α)(Y) = X(α(Y)) − α(∇_{X}Y) liefert einen wohldefinierten 2-0-Tensor durch ∇α(X, Y) = ∇_{X}α(Y).

c) Zeige: Für alle f ∈ C^{∞}(M) ist ∇df ein symmetrischer 2-0-Tensor.

d) Zeige: Für p ∈ Crit f = { x ∈ M | df(x) = 0 } hängt ∇df(x) nicht von g ab.

Hinweis: Zeige ∇df(p)(X(p), Y (p)) = X(Y (f))(p) f.a. X, Y ∈ X (M).

2. Es sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und es sei [·, ·]: X (M) × X (M) → X (M) die Lie-Klammer mit

[X, Y]_{α} = ∑_{i,j=1}^{n}(X^{i} \frac{∂Y^{j}}{∂x^{i}} − Y^{i} \frac{∂X^{j}}{∂x^{i}})\frac{∂}{∂x^{j}}

wobei X_{α} = X^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + … + X^{n} \frac{∂}{∂x^{n}}, analog Y_{α}.

a) Zeige: ([X, Y]_{α})_{α∈A} ist ein wohldefiniertes Vektorfeld.

b) Zeige für alle X, Y, Z ∈ X (M), f, g ∈ C^{∞}(M):

• X(fg) = fX(g) + gX(f),

• [X, Y](f) = X(Y (f)) − Y (X(f)),

• [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]].

c) Berechne [fX, Y](g).

3. Betrachte ℂP^{n} als die Menge aller komplexer Geraden in ℂ^{n+1}, d.h.

[v] = ℂ · v ∈ ℂP^{n} für v ∈ ℂ^{n+1} \ {0} .

Wir haben die kanonische Projektion π: ℂ^{n+1} \ {0} → ℂP^{n}, v ↦ [v]. (Die offenen Mengen in ℂP^{n} sind genau die Bilder offener Mengen aus ℂ^{n+1} \ {0}.) Notation: [(v^{0}, …, v^{n})] = [v^{0} : …: v^{n}].

a) Vervollständige die Abbildung

φ_{0} : V_{0} := { [v^{0} : …: v^{n}] | v^{0} ≠ 0 } → ℂ^{n},

[v^{0} : …: v^{n} ↦ (v^{1}/v^{0}, …, v^{n}/v^{0})

zu einem Atlas auf ℂP^{n}. (Zeige, daß dies ein Atlas ist.)

Bitten wenden! b) Zeige: S^{2n+1} = { (z^{0}, …, z^{n}) ∈ ℂ^{n+1} | |z^{0}|^{2} + … |z^{n}|^{2} = 1 } ist eine Mannigfaltigkeit.

c) Zeige: π: S^{2n+1} → ℂP^{n}, (z^{0}, …, z^{n}) ↦ [z^{0} : …: z^{n}] ist eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten.

4. E sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und c: [0, 1] → M eine geschlossene Kurve, c(0) = c(1), welche sich zu einer Abbildung der Einheitskreisscheibe fortsetzen lässt,

u: {z ∈ ℂ | |z| ≤ 1 } → M, u(e^{2πit}) = c(t) .

Zeige, daß der Paralleltransport entlang c Φ_{c}: T_{c(0)}M → T_{c(0)}M der Identitätsisomorphismus ist, falls der Riemannsche Krümmungstensor R(·, ·) = 0 identisch null ist.

Rückgabe: Montag 10.12.07 in der Übung.