Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2009/08

Serie 8

1. Es sei S eine Fläche und p, q ∈ S darauf zwei Punkte. Definiere

d(p, q) := inf{ L(c) | c: [a, b] → S reguläre Kurve mit c(a) = p, c(b) = q } .

Zeige: d ist eine Metrik, d.h.

• d(p, q) ≥ 0 und d(p, q) = 0 ⇔ p = q,

• d(p, q) = d(q, p),

• d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) f.a. p, q, r ∈ S.

2. Zeige, daß die folgenden Mengen Mannigfaltigkeiten sind und berechne ihre Dimension:

a) SL(n, ℝ) = { A ∈ M(n × n, ℝ) | det A = 1 },

b) U(n, ℂ) = { A ∈ M(n × n, ℂ) | A · A^{∗} = 1 }, mit (a_{ij})^{∗} = (ā_{ji}),

c) SU(n) = { A ∈ U(n, ℂ) | det A = 1 }.

3. a) Zeige, daß die Menge der Einheitstangentialvektoren zu S^{2}, also

US^{2} = { (p, v) ∈ ℝ^{3} × ℝ^{3} | p ∈ S^{2}, v ⊥ p, |v| = 1 }

zu SO(3) homöomorph ist.

b) Finde eine stetige Abbildung SU(2) → SO(3), die surjektiv ist und bei der jedes a ∈ SO(3) genau 2 Urbilder hat.

4. a) Es sei

RP^{n} = { l ⊂ ℝ^{n+1} | l ist ein 1-dimensionaler Untervektorraum}

der reell projektive Raum. Für v = (v^{0}, …, v^{n}) ∈ ℝ^{n+1} \ {0} sei [v^{0} : …: v^{n}] = ℝ · v ∈ ℝP^{n}, und

p: ℝ^{n+1} → ℝP^{n}, v ↦ [v^{0} : …: v^{n}] .

Die offenen Mengen in ℝP^{n} sind genau die Teilmengen U ⊂ ℝP^{n}, für die die Urbildmengen p^{−1}(U) offen in ℝ^{n+1} sind.

Betrachte die offenen Teilmengen

V_{i} = { [v^{0} : …: v^{n}] ∈ ℝP^{n} | v^{i} ≠ 0 }, i = 0, …, n .

Es seien φ_{i}: V_{i} → ℝ^{n}, φ_{i}([v^{0} : …: v^{n}]) := (v^{0}, …, v^{i−1}, v^{i+1}, …, v^{n}).

Zeige, daß die Abbildungen φ_{i} bijektiv sind, und berechne die Kartenwechsel φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1}.

b) Zeige: Durch die Abbildung S^{n} → ℝP^{n}, v ↦ p(v) wird auf ℝP^{n} eine Riemannsche Metrik induziert, so daß diese Abbildung eine lokale Isometrie wird. Berechne die (g_{ij}^{α}).

Rückgabe: Montag 03.12.07 in der Übung.