Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2009/08

Serie 5

1. a) Zeige, daß die Flächenstücke

f(u, v) = (u cos v, u sin v, log u),
g(u, v) = (u cos v, u sin v, v),

gleiche Gauß-Krümmungsfunktionen K_{f}(u, v) = K_{g}(u, v) besitzen, aber daß die Identität (u, v) ↦ (u, v) dennoch keine lokale Isometrie (Abwicklung) beschreibt. Interpretiere dies in Bezug auf das Theorema Egregium.

b) Kann die Sphäre in irgendeiner Umgebung eines Punktes auf die Ebene abgewickelt werden? Warum?

2. a) Es sei f: U → ℝ^{3} ein Flächenstück mit einem ersten Fundamentaltensor in der konformen Form

I = e^{φ} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , i.e. g_{ij} = e^{φ}δ_{ij} .

Leite die Formel für die Gaußkrümmung her, K = K(φ).

b) Es sei f ein Flächenstück, welches auf die hyperbolische Halbebene abwickelbar ist, d.h. ℍ = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0\} mit g_{ij} = \frac{1}{y^{2}} δ_{ij}. Berechne K aus der Formel von (a).

c) Wiederhole dies mit einem Flächenstück in der konformen Parametrisierung, so daß g_{ij} = \frac{1}{(1+u^{2}+v^{2})^{2}} .

3. a) Finde eine Abwicklung der Pseudosphäre S_{−1} auf die hyperbolische Halbebene, d.h. V ⊂ H sowie ϕ: V → ℝ^{3}, so daß ϕ(V) = S_{−1} und ϕ eine Isometrie ist. (Finde erst die geeignete Parametrisierung der Pseudosphäre, siehe Vorl.)

b) Versuche dies auch mit der Rotationsfläche f(u, v) = (g(u), h(u) cos v, h(u) sin v) mit h(u) = cosh u, g′(u) = \sqrt{2 − cosh^{2} u}.

4. a) Betrachte wieder die hyperbolische Halbebene H wie in 2.) und 3.). Zeige, daß jede Abbildung

z ↦ \frac{az + b}{cz + d}, z ∈ ℂ

mit a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 1 eine Isometrie von H liefert.

b) Finde einen Diffeomorphismus ϕ: H → E := {z ∈ ℂ| |z| < 1} welche durch eine holomorphe Funktion gegeben ist und beschreibe die entsprechend isometrische Fundamentalform auf E.

Rückgabe: Montag 12.11.07 in der Übung.