Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2009/08

Serie 4

1. a) Zeige, daß p ∈ S = f(U) eines Flächenstücks genau dann ein Nabelpunkt ist, wenn dort gilt:

K(p) = H(p)^{2}.

b) Zeige, daß es auf der Fläche S = { xyz = 1 | x, y, z > 0} ⊂ ℝ^{3} genau einen Nabelpunkt mit z = 1 gibt. Finde diesen Punkt.

c) Gibt es noch weitere Nabelpunkte auf S?

2. Bestimme die Asymptotenkurven und die Hauptkrümmungslinien auf dem Helicoid

f(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ, cr), c > 0 ,

und zeige, daß die mittlere Krümmung verschwindet.

3. Bestimme die Asymptotenkurven des Katenoids f(z, ϕ) = (cosh z cos ϕ, cosh z sin ϕ, z) .

4. a) Finde eine Rotationsfläche mit H ≡ 0.

b) Gibt es noch eine weitere ?

Rückgabe: Montag 5.11.07 in der Übung.