Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2007/08

Serie 3

1. Betrachte die Fläche { xyz = 1 } ⊂ ℝ^{3}, und berechne die Hauptkrümmungen im Punkt (1, 1, 1).

2. Betrachte die Krümmung einer gegebenen Fläche S = f(U) in einer Tangentialrichtung an einem Punkt p.

a) Zeige, daß für jede zwei zueinander orthogonalen Richtungen die Summe der zugeordneten Richtungskrümmungen den gleichen Wert hat.

b) Es sei X_{o} ∈ T_{p}S eine feste Richtung und κ(ϑ) die Krümmung in der Richtung X_{ϑ}, wobei der Winkel zwischen X_{ϑ} und X_{o} gleich ϑ ist. Zeige:

H = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} κ(ϑ)dϑ .

3. Es sei f: U → ℝ^{3} ein parametrisiertes Flächenstück und c: I → S = f(U) eine Asymptotenkurve mit nirgends verschwindender Krümmung.

a) wird in der Übung behandelt: Betrachte die Schmiegeebene von c an der Stelle c(t), d.h. aufgespannt von Geschwindigkeit und Normale der Kurve c. Zeige, daß die Schmiegeebene an jedem Punkt c(t) mit dem Tangentialraum T_{c(t)}S der Fläche übereinstimmt.

b) Zeige, daß die Torsion τ der Kurve c und die Gauß-Krümmung von S bei allen Punkten von c die

Gleichung

τ^{2} = −K

erfüllt.

4. Es sei S ⊂ ℝ^{3} eine Rotationsfläche in der Form

f(u, v) = (u, h(u) cos v, h(u) sin v),

so daß in allen Punkten x_{o} ∈ S die Gaußkrümmung K(x_{o}) positiv ist und der Abstand h(u) zur Rotationsachse sein Maximum annimmt. Zeige: Dann ist S beschränkt.

Alternativ: Finde ein Beispiel einer unbeschränkten Rotationsfläche mitüberall positiver Gaußkrümmung.

Rückgabe: In der Übung am 29.10.2007.