Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2007/08

Serie 2

1. Gegeben sei im ℝ^{3} die Kurve

c(t) = (t(sin t + 2 cos t), t(sin t − 2 cos t), \sqrt{6}t sin t), t ∈ ℝ^{+} .

a) Bestimme das Frenet-3-Bein zur Kurve c.

b) Berechne Krümmung und Torsion der Kurve c.

c) Versuche, anhand dieser Größen qualitative Eigenschaften der Kurve abzuleiten.

2. a) Es sei f: ℝ × (−π/2, π/2) → ℝ^{3} das parametrisierte Flächenstück

f(u, v) = (u cos v, u sin v, log(cos v) + u) .

Zeige, daß für jede u_{1} < u_{2} die Länge der Kurve γ: [u_{1}, u_{2}] → ℝ^{3}, γ(u) = f(u, v) nicht von v abhängt.

b) Es sei f: U → ℝ^{3} ein parametr. Flächenstück. Die Koordinatenkurven u ↦ f(u, v) und v ↦ f(u, v) bilden ein sogenanntes Tschebyscheff-Netz, falls die Längen gegenüberliegender Seiten von Vierecken aus solchen Koordinatenkurven gleich lang sind. Zeige, daß diese Bedingung äquivalent ist zu

\frac{∂E}{∂v} = \frac{∂G}{∂u} = 0 .

3. Betrachte dieselben Voraussetzungen wie in Aufg. 2.b).

Zeige, daß, falls die Koordinatenkurven ein Tschebyscheff-Netz bilden, es möglich ist, das Flächenstück so umzuparametrisieren, daß gilt:

E = 1, F = cos ϑ, G = 1 ,

wobei ϑ der Winkel zwischen den Koordinatenkurven ist.

4. Die Kurve y = x^{2} + 1, x ∈ ℝ, soll im ℝ^{3} um die x-Achse gedreht werden. Dadurch ensteht eine (unbeschränkte) Rotationsfläche.

a) Finde ein “geeignete” Parametrisierung dieser Fläche (möglichst einfach, z.B. x = u).

b) Zu dieser Rotationsfläche soll später in jedem Punkt die Gauß-Krümmung ermittelt werden. Welche qualitativen Eigenschaften der Krümmung werden erwartet?

c) Bestimme die erste Fundamentalform I.

d) Bestimme die zweite Fundamentalform II.

e) Berechne daraus die Gauß-Krümmung, und besätige damit die obige Erwartung.

Rückgabe: Montag 22.10.07 in der Übung.