Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2007/08

Serie 10

1. Betrachte auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit M alle glatten Pfade γ: (−ε, ε) → M, ε > 0 durch einen gegebenen Punkt p = γ(0). Definierte auf der Menge aller dieser Pfade die Äquivalenzrelation

γ ∼ γ̄ ⇔ \frac{d}{dt}(f ∘ γ)(0) = \frac{d}{dt}(f ∘ γ̄)(0) f.a. f ∈ C^{∞}(M) .

Es sei T_{p}M^{geom} die Menge aller dieser Äquivalenzklassen von Pfaden. Die Klasse [γ] werde auch mit γ̇(0) bezeichnet. Es sei nun φ_{α}: V_{α} → U_{α} eine Karte mit φ_{α}(p) = 0. Betrachte die Abbildung

K: γ ↦ \frac{d}{dt}(φ_{α} ∘ γ)(0) ∈ ℝ^{n} .

a) Zeige: K(γ) hängt nur von [γ] ab.

b) K ist eine Bijektion zwischen T_{p}M^{geom} und ℝ^{n}.

c) K(γ) transformiert sich unter Kartenwechsel wie ein Tangentialvektor, d.h. K liefert eine Identifikation von T_{p}M^{geom} und dem Tangentialraum T_{p}M.

2. Ein allgemeiner Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung

∇: X (M) × X (M) → X (M)
(X, Y) ↦ ∇_{X}Y

mit den Eigenschaften

(i) ∇_{fX}Y = f∇_{X}Y (ii) ∇_{X}(fY) = X(f) · Y + f∇_{X}Y

für alle X, Y ∈ X (M) und f ∈ C^{∞}(M). Sei nun ∇_{o} ein gegebener Zusammenhang und Z(M) die Menge aller Zusammenhänge auf M. Zeige: Wir haben eine Bijektion

T^{2,1}(M) → Z(M), A ↦ ∇^{A}

mit ∇_{X}^{A}Y := ∇_{X}^{o}Y + A(X, Y). Hier ist T^{2,1}(M) der ℝ-Vektorraum der 2-1-Tensoren.

3. a) Finde eine explizite Formel für die Einbettung f: [−1, 1] × [0, 2π] → ℝ^{3} eines Möbiusbandes als reguläre Fläche.

b) Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn alle Kartenwechsel Differentiale mit positiver Determinante haben. Zeige, daß das Möbiusband aus (a) nicht orientierbar ist.

4. Betrachte den Torus \{(\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2}\}, 0 < r < R und berechne seinen Flächeninhalt und die Gaußkrümmungsfunktion K.

Rückgabe: Montag 17.12.07 in der Übung.