Prof. M. Schwarz  Differentialgeometrie 1  WS 2007/08

Serie 1

1. a) Finde eine Parametrisierung der Teilmenge C = { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{3} = y^{2}, y^{4} = z^{3} } als parametrisierte Kurve.

b) Kann eine Parametrisierung von C als reguläre Kurve gefunden werden?

2. Es sei c: I → ℝ^{3} eine gegebene reguläre Kurve,

a) Konstruiere folgendermaßen ein orthonormales begleitendes 3-Bein (v_{1}, v_{2}, v_{3}): I → ℝ^{3×3} entlang c: Es sei v_{1} = e_{1} das Einheitsgeschwindigkeitsfeld, und v_{2} ein beliebiges Einheitsfeld entlang c mit |v_{2}| = 1 und ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = 0, und setze v_{3} = v_{1} × v_{2}. Zeige:

v̇_{1} = ω_{3}v_{2} − ω_{2}v_{3},
v̇_{2} = −ω_{3}v_{1} + ω_{1}v_{3},
v̇_{3} = ω_{2}v_{1} − ω_{1}v_{2} .

b) Der Vektor ω = ∑_{i=1}^{3} ω_{i}v_{i} heißt der Darboux-Vektor zum 3-Bein (v_{1}, v_{2}, v_{3}). Zeige:

v̇_{1} = ω × v_{1},
v̇_{2} = ω × v_{2},
v̇_{3} = ω × v_{3},

und bestimme den Darboux-Vektor zum Frenet 3-Bein.

3. a) Es seien α: [0, 1] → ℝ^{3} und β: [0, 1] → ℝ^{3} zwei disjunkte reguläre geschlossene Kurven (α(0) = α(1), ...) und wähle eine 2-dimensionale Ebene in ℝ^{3}, so daß höchstens zwei Punkte von α und β auf den geichen Punkt unter senkrechter Projektion auf die Ebene fallen. (Geht das immer?). Jedem Doppelpunkt werde je nach Überkreuzung oder Unterkreuzung (finde hierfür eine genaue Definition!) die Zahl +1 oder −1 zugeordnet. Die Verschlingungszahl S(α, β) sei die Summe aller dieser ±1. Zeige: S(α, β) ist wohldefiniert und hängt nicht von der Wahl der Projektionsebene ab.

b) Sei nun (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ein ON-3-Bein wie in 2.) entlang α. Definiere die Verdrehung von v_{2} um α durch

D(α, v_{2}) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{1} ω_{1}dt .

Sei nun β gegeben durch β(t) = α(t) + εv_{2}(t) mit ε > 0 klein genug, so daß α und β disjunkt sind. Zeige: Falls α eine ebene Kurve ist, so gilt S(α, β) = D(α, v_{2}).

4. Berechne das begleitende Frenetsche 3-Bein, sowie Krümmung und Torsion der Kurve

c(t) = (e^{t} cos t, e^{t} sin t, e^{t}) .

Rückgabe: Montag, 15.10.07