Prof. M. Schwarz  Analysis für Physiker 3  WS 2006/07

Serie 5

1. a) Sei

F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2}, y^{2} + z^{2} ≥ \frac{r^{2}}{9} \} 0 < r < R,

orientiert durch n^{⇀} mit n^{⇀}(R, 0, r) = (0, 0, 1). Berechne ∂F und bestimme die induzierte Orientierung. Sei X^{⇀} = rot (\begin{matrix}x \\ −z \\ y \end{matrix}) und berechne ∫∫_{F} X^{⇀} · dS^{⇀}.

b) Sei F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} −R)^{2} +z^{2} = r^{2} \} und berechne ∫∫_{F} rot X^{⇀} ·dS^{⇀} für ein beliebiges

C^{1}-Vektorfeld X^{⇀} auf F.

2. Es seien X^{⇀}, Y^{⇀}, Z^{⇀} C^{1}-Vektorfelder und ψ eine C^{1}-Funktion auf einer offenen Menge in ℝ^{3}. Wir ver-

wenden die Notationen

r^{⇀} = (x, y, z), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, n^{⇀} = \frac{r^{⇀}}{r},

sowie ΔX^{⇀} = (ΔX^{1}, ΔX^{2}, ΔX^{3}) und X^{⇀} · ∇ = (X^{1} \frac{∂}{∂x}, X^{2} \frac{∂}{∂y} , X^{3} \frac{∂}{∂z})

a) Leite folgende oft benutzte Formeln her:

\begin{aligned}∇ × (∇ × X^{⇀}) & = ∇(∇ · X^{⇀}) − ΔX^{⇀}, \\ ∇ · (ψX^{⇀}) & = X^{⇀} · ∇ψ + ψ∇ · X^{⇀}, \\ ∇ × (ψX^{⇀}) & = ∇ψ × X^{⇀} + ψ∇ × X^{⇀}, \\ ∇(X^{⇀} · Y^{⇀}) & = (X^{⇀} · ∇)Y^{⇀} + (Y^{⇀} · ∇)X^{⇀} + X^{⇀} × (∇ × Y^{⇀}) + Y^{⇀} × (∇ × X^{⇀}), \\ ∇ · (X^{⇀} × Y^{⇀}) & = Y^{⇀} · (∇ × X^{⇀}) − X^{⇀} · (∇ × Y^{⇀}), \end{aligned}

b) Berechne

\begin{aligned}∇ × ∇ψ & = \\ ∇ · (∇ × X^{⇀}) & = \\ ∇ · r^{⇀} & = \\ ∇ × r^{⇀} & = \\ ∇ · n^{⇀} & = \\ ∇ × n^{⇀} & = \end{aligned}

Bitten wenden!

3. Verwende die gleichen Notationen wie in 2.)

a) Es sei f: (0, ∞) → ℝ eine C^{1}-Funktion. Berechne ∇ · (f(r) r^{⇀}) und f so, daß die Divergenz 0 ergibt.

b) Finde ein divergenzfreies Vektorfeld X^{⇀} auf ℝ^{3} \ {0}, welches kein Rotationsfeld ist, also daß kein Y^{⇀} auf ℝ^{3} \ {0} mit ∇ × Y^{⇀} = X^{⇀} existiert.

4. Es seien ω ∈ Λ^{2}(ℝ^{n}) und α ∈ Λ^{1}(ℝ^{n}). Zeige: α ∧ ω = 0 ⟹ ω = α ∧ β für ein β ∈ Λ^{1}(ℝ^{n}) .

Rückgabe: In den Übungsgruppe am 21.11. bzw. in der Vorlesung am 23.11.