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Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut - Studium

Numerik 2 (Professor Dr. Peter Kunkel)


Teilnehmerkreis:

Studierende mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik und Diplom-Wirtschaftsmathematik ab dem 3. Studienjahr

Scheinvergabe:

Richtiges Lösen von Übungsaufgaben (mind. 50%) sowie aktive Teilnahme an den Übungen

Vorkenntnisse:

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Inhalt:

Viele Probleme aus Naturwissenschaft und Technik werden in der Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen modelliert. Diese sind typischerweise nicht geschlossen lösbar, sodaß man auf numerische Approximationsverfahren zurückgreifen muß. Gegenstand dieser Vorlesung sind verschiedene numerische Verfahren zur Lösung von Anfangs- und Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, insbesondere deren Konvergenzeigenschaften. Stichworte hierbei sind Konsistenz, Stabilität und Konvergenz, Ein- und Mehrschrittverfahren sowie Extrapolation, Mehrzielmethode, Differenzenverfahren und Kollokation.

Gliederung:

I  Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
   1 Theoretische Grundlagen
      1.1 Existenz und Eindeutigkeit
      1.2 Fundamental-Lemma und Variationsgleichung
   2 Einschrittverfahren
      2.1 Konsistenz und Konvergenz
      2.2 Runge-Kutta-Verfahren
      2.3 Asymptotische Entwicklung des globalen Fehlers
      2.4 Schrittweitensteuerung
   3 Mehrschrittverfahren
      3.1 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
      3.2 Prädiktor-Korrektor-Verfahren
      3.3 Schrittweiten- und Ordnungsteuerung
   4 Extrapolationsverfahren
      4.1 Adjungierte Verfahren und Symmetrie
      4.2 Das Verfahren von Gragg
      4.3 Extrapolation
      4.4 Schrittweiten- und Ordnungsteuerung
   5 Steife Differentialgleichungen
      5.1 Einschrittverfahren
      5.2 Mehrschrittverfahren
      5.3 Extrapolationsverfahren
II Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
   6 Theoretische Grundlagen
      6.1 Lokale Eindeutigkeit und Kondition
      6.2 Greensche Funktion
   7 Mehrzielmethode
   8 Differenzenverfahren
      8.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren
      8.2 Ein spezielles Differenzenverfahren
   9 Kollokation
      9.1 Lineare Probleme
      9.2 Nichtlineare Probleme

Literatur:

Hairer/Nørsett/Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I; Springer.
Hairer/Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II; Springer.
Stoer/Bulirsch: Einführung in die Numerische Mathematik 2; Springer.
Deuflhard/Bornemann: Numerische Mathematik 2; Walter de Gruyter.
Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen; Oldenbourg.
Ascher/Mattheij/Russell: Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations; SIAM.
Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen; Springer.
Coddington/Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations; McGraw-Hill.