Universität |
Fakultät |
Institut für Informatik |
Mathematisches Institut |
MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut - Studium
Numerische lineare Algebra (Professor Dr. Peter Kunkel)
Teilnehmerkreis:
Studierende mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik
und Diplom-Wirtschaftsmathematik ab dem 3. Studienjahr
Scheinvergabe:
./.
Vorkenntnisse:
./.
Inhalt:
Selbst bei der numerischen Behandlung allgemeiner nichtlinearer Probleme,
etwa durch das Newton-Verfahren, bleibt letztendlich als Teilproblem das
Lösen entsprechender linearer Probleme. Dabei ist es für die Effizienz
und Stabilität wesentlich, Strukturen des Ausgangsproblems auszunutzen.
Damit ergibt sich eine große Vielfalt von verschiedenen Algorithmen,
die bei unterschiedlichen Problemstellungen ihre Anwendung finden.
In der vorliegenden Vorlesung sollen die wichtigsten Methoden und
Techniken in diesem Bereich behandelt werden. Stichworte sind:
Direkte Lösung von linearen Gleichungssystemen (Gauß-Elimination,
QR-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung und ihre Modifikationen), lineare
Ausgleichsrechnung (Normalgleichung, Gram-Schmidt-Verfahren, modifiziertes
Gram-Schmidt-Verfahren, QR-Zerlegung mit Spaltentausch und Rangbestimmung,
Moore-Penrose-Pseudoinverse), iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen
(Jacobi-Verfahren, Gauß-Seidel-Verfahren, Relaxation, Krylov-Raum-Verfahren,
Mehrgitter-Verfahren, konjugierte Gradienten), nichtsymmetrische und
symmetrische Eigenwertprobleme (Potenzmethode, inverse Iteration,
QR-Verfahren, Rayleigh-Quotienten-Verfahren, Reduktion und Deflation,
Jacobi-Verfahren, Singulärwerte, Rayleigh-Ritz-Verfahren, Lanczos-Verfahren).
Gliederung:
1 Grundlagen
2 Direkte Lösung von linearen Gleichungssystemen
3 Lineare Ausgleichsrechnung
4 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen
5 Nichtsymmetrische Eigenwertprobleme
6 Symmetrische Eigenwertprobleme
Literatur:
Golub/Van Loan: Matrix Computations; North Oxford Academic.
Demmel: Applied Numerical Linear Algebra; SIAM.
Trefethen/Bau: Numerical Linear Algebra; SIAM.