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MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut - Studium
Geometrische Integration (Professor Dr. Peter Kunkel)
Teilnehmerkreis:
Studierende ab 5. Fachsemester mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik
oder Diplom-Wirtschaftsmathematik
Scheinvergabe:
./.
Vorkenntnisse:
./.
Inhalt:
Ist man am Langzeitverhalten physikalischer Systeme interessiert,
so möchte man, daß die zu deren Simulation verwendeten numerischen
Integratoren wesentliche Eigenschaften des physikalischen Systems
wiedergeben. Dabei ist man nicht so sehr an einer genauen Lösung
interessiert, sondern daran, daß wichtige physikalische Gesetze
wie Energie-, Impuls- oder Massen-Erhaltung sich weitgehend auf
die numerische Lösung übertragen. Da Erhaltungsgesetze eine
Einschränkung der Lösung auf eine Untermannigfaltigkeit des
Phasenraums darstellen, spricht man von geometrischen Eigenschaften
der Lösung und dementsprechend von geometrischen Integratoren.
In der Vorlesung sollen ausgehend von einfachen Simulationen
physikalischer Systeme zunächst Familien von numerischen Verfahren
und deren Eigenschaften im Hinblick auf Erhaltungsgrößen
untersucht werden. Themen dabei sind Differentialgleichungen
auf Mannigfaltigkeiten, insbesondere Lie-Gruppen, und zugehörige
numerische Verfahren. Weitere Stichworte sind symmetrische Integration
im Zusammenhang mit Reversibilität und symplektische Integration
Hamiltonischer Systeme.
Gliederung:
1 Einleitung
2 Numerische Integratoren
2.1 Allgemeine Konvergenztheorie
2.2 Runge-Kutta-Verfahren
2.3 Kollokationsverfahren
2.4 Unstetige Kollokationsverfahren
2.5 Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
2.6 Adjungierte Verfahren
3 Erhaltungsgrößen
3.1 Lineare Invariante
3.2 Quadratische Invariante
3.3 Projektionsverfahren
3.4 Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
3.5 Differentialgleichungen auf Lie-Gruppen
4 Symmetrische Integration und Reversibilität
5 Symplektische Integration Hamiltonischer Systeme
6 Anhang
6.1 Integratoren auf Mannigfaltigkeiten
6.2 Symmetrische Projektionsverfahren
6.3 Rückwärtsanalyse
6.4 Schrittweitensteuerung
Literatur:
Hairer/Lubich/Wanner: Geometric Numerical Integration -- Structure Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations; Springer (2004).
Leimkuhler/Reich: Simulating Hamiltonian Dynamics; Cambridge University Press (2004).
Kunkel/Mehrmann: Differential-Algebraic Equations -- Analysis and Numerical Solution; European Mathematical Society (2006).