Approximationstheorie (Professor Dr. Peter Kunkel)

Teilnehmerkreis:

Studierende mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik und Diplom-Wirtschaftsmathematik ab dem 3. Studienjahr

Scheinvergabe:

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Vorkenntnisse:

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Inhalt:

In der Approximationstheorie geht es allgemein um die Untersuchung des Problems, zu einem Element eines normierten linearen Raumes und einer Teilmenge darin ein Element in der Teilmenge zu finden, das zu dem gegebenen Element den kleinstmöglichen Abstand besitzt. Im speziellen interessiert man sich für diese Fragestellung, wenn der normierte lineare Raum der Raum der auf einem Intervall stetigen Funktionen ist. In der Vorlesung sollen ausgehend von allgemeinen Resultaten die Themen Approximationssatz von Weierstraß, Tschebyscheff-Systeme, Jackson- und Bernsteinsätze, Projektionsoperatoren sowie numerische Verfahren behandelt werden.

Gliederung:

0 Problemstellung
1 Topologie metrischer Räume
   1.1 Topologische Grundbegriffe
   1.2 Existenz einer Bestapproximierenden
   1.3 Stetige Funktionen
   1.4 Normierte lineare Räume
   1.5 Eindeutigkeit der Bestapproximierenden
   1.6 Lineare Operatoren
   1.7 Konvexe Mengen
2 Der Approximationssatz von Weierstraß
   2.1 Positive lineare Approximationsverfahren
   2.2 Die Sätze von Bohman und Korovkin
   2.3 Bernstein- und Fejér-Operatoren
3 Proxima stetiger Funktionen
   3.1 Charakterisierung
   3.2 Tschbyscheff-Systeme
   3.3 Referenzen und Alternanten
4 Fehlerabschätzungen
   4.1 Glattheitsmaße
   4.2 Jackson-Sätze
   4.3 Bernstein-Sätze
5 Projektionsoperatoren
   5.1 Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
   5.2 Negative Resultate
6 Konstruktion des Proximums
   6.1 Vorbereitungen
   6.2 Diskrete Proxima
   6.3 Das Verfahren von Remez
7 Kubische Splines
8 Anhang
   8.1 Der Bernsteinsche Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß
   8.2 Der Weierstraßsche Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß
   8.3 Der Satz von Stone/Weierstraß
   8.4 Timan-Sätze
   8.5 Dizian/Totik-Sätze

Literatur:

Cheney: Introduction to Approximation Theory; Chelsea Publishing Company, New York.
Müller: Approximationstheorie; Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden.
Lorentz: Approximation of Functions; Holt, Rinehart and Winston, New York.

Universität Leipzig Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut - Studium