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Fakultät für Mathematik und Informatik |
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Abteilung Optimierung und Finanzmathematik
Aktuelle Projekte
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Methoden der Optimierung und Optimalen Steuerung in der ebenen GeometrieAnita KripfganzEine spezielle Klasse geometrischer Probleme befasst sich mit der Suche nach extremalen charakteristischen Parametern ebener konvexer Figuren, wobei gewisse andere Parameter fixiert sind. Allgemein ergeben sich restringierte parametrische Extremalprobleme im Raum der konvexen Figuren. Zur Lösung solcher Probleme sind z.T. erfolgreich Methoden der Optimierung und Optimalen Steuerung, wie etwa die Dualitätstheorie oder das Pontrjagin'sche Maximumprinzip, einsetzbar.
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Lösungsverzweigung bei AufteilungsproblemenAnita KripfganzBetrachtet wird ein Aufteilungs- bzw. Zuteilungsproblem mit nichtlinearen Gesamtkosten und einer Kopplungsnebenbedingung für die Ressourcen. Die einzelnen Projekte werden mit derselben konvex-konkaven Kostenfunktion bewertet, aus der sich die Gesamtkosten additiv zusammensetzen. Gesucht ist die Struktur der optimalen Aufteilung in Abhängigkeit vom Kopplungsparameter. Für gewisse konvex-konkave partielle Kostenfunktionen ist eine Verzweigung zwischen symmetrischer und nichtsymmetrischer Aufteilung zu beobachten.
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Eine Verallgemeinerung der Navier-Stokes-Gleichungen auf ZweiphasenströmungenThomas BlesgenEine modifizierte Allen-Cahn-Gleichung wird mit dem inkompressiblen Navier-Stokes-System kombiniert. Es kann gezeigt werden, dass nach einer Anpassung des Spannungstensors der zweite Hauptsatz der Thermodynamik Gültigkeit besitzt. Eine physikalische Interpretation für den neuen Spannungstensor kann gefunden werden. Das Modell kann z.B. zur Beschreibung von Kavitation in strömenden Flüssigkeiten verwendet werden. Finite-Volumen-Rechnungen wurden durchgeführt zur Illustration des typischen Verhaltens der Gleichungen. Globale Existenz von Lösungen kann gezeigt werden z. B. im Fall, dass das System als inkompressibel angenommen wird.
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Mathematische Modellierung von Diffusionsinduzierter SegregationThomas Blesgen, Stephan LuckhausAuf der Grundlage kristallographischer Experimente wurde mit Hilfe partieller Differentialgleichungen ein mathematisches Modell zur Beschreibung der sogenannten Chalcopyrit-Krankheit in Spalerit entwickelt. Durch Wahl geeigneter Freier Energien konnten die signifikanten Eigenschaften des im Labor beobachteten physikalischen Prozesses korrekt wiedergegeben werden. Numerische Simulationen belegen die physikalische Relevanz des entwickelten Modells.
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Ein Mathematisches Modell für Phasenübergänge in KristallenSteffen Arnrich, Thomas Blesgen, Stephan LuckhausDas Ziel dieses Projekts ist die Analyse der elastischen Theorie von Kristallen mit Mikrostruktur, wobei die Freie Energiedichte von der örtlichen Teilchendichte eines oder mehrerer im Kristall vorkommender Molekülarten abhängt. Diese lokale Teilchendichte kann sich durch Diffusion verändern. Das Modell beschreibt eine isothermale Situation. Weiter wird angenommen, dass die mechanischen Deformationen sich unendlich schnell an die Diffusion anpassen und dass keine Zwischengitterplätze auftreten. Ein Gradienten-Oberflächenterm beschreibt die Oberflächenenergie entlang der Phasengrenzen.
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Mathematische Modellierung von Abhängigkeiten beim Management von FinanzrisikenRüdiger FreyIm finanziellen Risikomanagement ist man normalerweise an der Verteilung der Verluste eines gegebenen, typischerweise großen Portfolios interessiert. Diese Verteilung wird natürlich stark von den Abhängigkeiten zwischen den Verlusten aus den Einzelrisiken in dem Portfolio bestimmt. In den meisten finanzmathematischen Modellen wird diese Abhängigkeit durch Korrelationen beschrieben. Die neuere Risikoforschung hat gezeigt, dass Korrelationen bei nicht multivariat-normalverteilten Risiken, wie sie etwa im Kreditrisikomanagement vorliegen, ein sehr problematisches Abhängigkeitsmaß sind.Im vorliegenden Projekt soll speziell die Modellierung von Abhägigkeiten im Kreditrisikomanagement und bei der Bewertung von Kreditderivaten untersucht werden. Dabei spielen sowohl theoretische Fragen (Modellrisiko) als auch statistische Fragen (Modellkalibrierung) eine Rolle. Darüber hinaus ist geplant, die Modellierung von Abhängigkeiten auf der Ebene von stochastischen Prozessen zu untersuchen. Bei der Untersuchung dieser Fragen werden wir eng mit Wissenschaftlern der ETH Zürich zusammenarbeiten.
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Mathematische Modellierung von MarktunvollkommenheitenRüdiger FreyDie klassische Theorie zur Bewertung von Derivaten geht von der Annahme friktionsloser Märkte aus (keine Transaktionskosten, liquide Märkte in denen jederzeit große Transaktionen möglich sind, ohne dass der Preis eines Wertpapiers beeinflusst wird); darüber hinaus setzt man meist die Vollständigkeit des Marktes voraus. Unter diesen Annahmen kann eine sehr elegante Theorie der Bewertung von Derivaten entwickelt werden. Mathematische Hilfsmittel sind Stochastische Analysis und Martingaltheorie und auch Ergebnisse aus dem Bereich Theorie und Numerik parabolischer Differentialgleichungen.Die Annahme friktionsloser und insbesondere liquider Märkte stellt bestenfalls eine approximative Beschreibung der Wirklichkeit dar. Auch führt eine realistische Modellierung der Dynamik von Wertpapierpreisen, die Kurssprünge und zufällig fluktuierende Parameter der Preisdynamik zulässt, typischerweise zu Modellen mit unvollständigen Märkten. In der aktuellen finanzmathematischen Forschung sind deshalb vermehrt Ansätze zur Bewertung und Absicherung von Derivaten in unvollkommenen Märkten entwickelt worden. Es ist geplant, insbesondere die Ansätze zur Modellierung von illiquiden Märkten weiter zu verfeinern. Unter der Annahme, dass die Preiselastizität eines Marktes konstant ist, wurde in verschiedenen jüngeren Arbeiten gezeigt, dass sich die Absicherungsstrategie durch eine voll nichtlineare Variante der klassischen Black-Scholes Differentialgleichung beschreiben lässt. Da die Liquidität durch einen stochastischen Prozess beschrieben wird. Dafür ist eine Verallgemeinerung der Ergebnisse auf unvollständige Märkte erforderlich. Dies führt zu interessanten Fragen im Bereich stochastische Analysis und nichtlineare parabolische Differentialgleichungen. Darüber hinaus ist beabsichtigt, die Kalibrierung von Modellen mit Marktilliquidität an Preise von gehandelten Optionen zu untersuchen.
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Claudia Götz, Claudia.Go...@math.uni-leipzig.de |
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