Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 9

1. Sei X überabzählbar und definiere μ^{∗}: P(X) → {0, 1}durch

μ^{∗}(A) = \begin{cases}0, & falls A abzählbar, \\ 1, & falls A überabzählbar. \end{cases}

Zeige:

a) μ^{∗} ist ein äußeres Maß. (2 Pkte.)

b) Bestimme die Klasse der μ^{∗}-messbaren Mengen in X. (2 Pkte.)

2. Es sei X = ℝ^{2}, F = { (a, a + l) × (b, b + l) | a, b ∈ ℝ, l > 0 } und τ: F → [0, ∞], τ(Q) = diam(Q) der Durchmesser. Sei μ^{∗} das durch τ bestimmte äußere Maß und T_{0}, …, T_{4} ∈ F gegeben durch

\begin{aligned}T_{0} = (0, 1) × (0, 1), & T_{1} = (0, 1/3) × (0, 1/3), T_{2} = (0, 1/3) × (2/3, 1), \\ & T_{3} = (2/3, 1) × (0, 1/3), T_{4} = (2/3, 1) × (2/3, 1) . \end{aligned}

a) Zeige: μ^{∗}( ⋃_{i=1}^{4} T_{i}) < ∑_{i=1}^{4} μ^{∗}(T_{i}) und folgere daraus, daß kein T_{i} μ^{∗}-messbar ist. (2 Pkte.)

b) Zeige: Kein ∅ ≠ Q ∈ F ist μ^{∗}-messbar. (2 Pkte.)

3. Sei T die Familie der offenen Mengen im ℝ^{N} und s > 0. Sei τ_{s}: T → [0, ∞] die Funktion

τ_{s}(U) = ( diam(U))^{s} .

Sei T_{n} = \{ T ∈ T | diam T ≤ \frac{1}{n} \} und μ_{n}^{∗} das durch T_{n} definierte äußere Maß.

a) Zeige: μ_{n+1}^{∗}(E) ≥ μ_{n}^{∗}(E) f.a. n ∈ ℕ, E ⊂ ℝ^{N}, und folgere, daß μ_{(s)}^{∗}(E) := lim_{n→∞} μ_{n}^{∗}(E) f.a. E ⊂ ℝ^{N} wohldefiniert ist. (2 Punkte.)

b) Zeige: μ_{(s)}^{∗} ist ein äußeres Maß auf ℝ^{N}. (2 Punkte.)

c) Zeige: Für alle T ∈ T gilt

μ_{(s)}^{∗}(T) = \begin{cases}0, & falls s > N, \\ ∞, & falls s < N . \end{cases}

(2 Punkte.)

d) Sei μ_{(s)}^{∗}(E) < ∞ und t > s. Zeige: μ_{(t)}^{∗}(E) = 0. (2 Punkte.) Für alle E ⊂ ℝ^{N} heißt

dim_{HD} E = sup{ s > 0 | μ_{(s)}^{∗}(E) = ∞ }

die Hausdorff-Dimension von E, mit dim_{HD} E = 0, falls alle μ_{(s)}^{∗}(E) = 0 f.a. s > 0. Also gilt dim_{HD} ℝ^{N} = N.

Rückgabe: In den Kasten am 15.12.