Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 8

1. Betrachte eine überabzählbare Menge X und definiere

A := { A ⊂ X | A abzählbar oderX \ A abzählbar}
μ(A) := \begin{cases}0, & A abzählbar, \\ 1, & sonst \end{cases}  f.a. A ∈ A.

Zeige: (X, A, μ) ist ein Maßraum. 4 Pkte.

2. a) Sei (A_{n}) eine Folge von Teilmengen von X. Definiere die Notation

lim sup A_{n} := ⋂_{m∈ℕ} ( ⋃_{n=m}^{∞} A_{n}) .

Zeige: Falls (X, A, μ) ein gegebener Maßraum ist und (A_{n}) eine Teilmengenfolge in A mit ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) < ∞, so gilt μ(lim sup A_{n}) = 0. 2 Pkte.

b) Zeige, daß die σ-Algebra der Standard-Borel-Mengen in ℝ^{n} sowohl von dem Teilmengensystem

der offenen, der abgeschlossenen als auch der kompakten Teilmengen erzeugt wird. 2 Pkte.

3. Sei A eine σ-Algebra in X erzeugt von einem Teilmengensystem E, d.h. A = σ(E), für welches gilt: A, B ∈ E ⇒ A ∩ B ∈ E, und es existieren (E_{n})_{n∈ℕ} ⊂ E mit ⋃_{n∈ℕ} E_{n} = X. Zeige: Dann gilt: Je zwei Maße μ_{1}, μ_{2} auf A mit μ_{1}(E) = μ_{2}(E) für alle E ∈ E und μ_{1}(E_{n}) = μ_{2}(E_{n}) < ∞ f.a. n ∈ ℕ sind identisch auf A. 4 Pkte.

4. Sei A eine Algebra in X und μ: A → [0, 1] ein Prämaß. Sei μ^{∗} das von μ erzeugte äußere Maß

μ^{∗}(A) := inf { ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) | (A_{n}) ⊂ A, A ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} }

auf P(X). Zeige:

a) μ_{|A}^{∗} = μ. 2 Pkte.

b) Jedes A ∈ A ist μ^{∗}-messbar. 2 Pkte. Rückgabe: In den Kasten am 08.12.