Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 6

1. Sei U ⊂ R^{n} offen, α ∈ Ω^{1}(U) und γ: [a, b] → U ein stückweise differenzierbarer Weg. Dann definieren wir

∫_{γ} α := ∫_{a}^{b} α_{γ(t)}(γ̇(t))dt .

a) Zeige: Falls α = df für ein f ∈ C^{∞}(U), dann gilt

∫_{γ} α = f(γ(b)) − f(γ(a)) .

1 Pkt.

b) Finde ein α ∈ Ω^{1}(ℝ^{2} \ {(1, 1)}) mit dα = 0 und so, dass kein f ∈ C^{∞}(ℝ^{2} \ {(1, 1)}) existiert mit df = α. 3 Pkte.

2. a) Es sei γ: ℝ → ℝ^{2}, γ(t) = (u(t), v(t)) eine beliebige C^{1}-Kurve in ℝ^{2} und f: ℝ × ℝ → ℝ^{4},

f(s, t) = (cos s u(t), cos s v(t), sin s u(t), sin s v(t))

und ω = dx^{1} ∧ dx^{2} + dx^{3} ∧ dx^{4}. Berechne f^{∗}ω. 2 Pkte.

b) Es sei f: U → ℝ^{3} ein reguläres parametrisiertes Flächenstück mit Normalenfeld n: U → S^{2}. Es sei ω = n⌟ vol. Dies liefert eine 2-Form auf F = f(U). Zeige: ∫_{F} ω ist gleich dem Flächeninhalt von F. 2 Pkte.

3. Finde ω ∈ Ω^{2}(ℝ^{3} \ {0}) mit dω = 0, so daß es kein α ∈ Ω^{1}(ℝ^{3} \ {0}) gibt, mit dα = ω. 4 Pkte.

4. Betrachte die durch f(ϑ, ϕ) = ((R + r cos ϑ) cos ϕ, (R + r cos ϑ) sin ϕ, r sin ϑ), (ϑ, ϕ) ∈ [0, 2π]^{2}

parametrisierte Fläche

F = \{ (x, y, z) | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} = r^{2} \}

mit 0 < r < R. Es sei ω ∈ Ω^{2}(ℝ^{3})

a) Zeige: Falls dω = 0, so gilt ∫_{f} ω = 0. 4 Pkte.

b) optional: Finde eine offene Umgebung U von F in ℝ^{3} und η ∈ Ω^{2}(U) mit dη = 0 und ∫_{f} η > 0. 2 Pkte.

Rückgabe: In den Kasten am 24.11.