Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 5

1. Es seien α ∈ Λ^{1}V^{∗}, β ∈ Λ^{k}V^{∗} für dim V = n, 2 ≤ k ≤ n. Zeige:

α ∧ β = 0 ⇒ β = α ∧ ω für ein ω ∈ Λ^{k−1}V^{∗} .

2. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Betrachte die VR-Isomorphismen (siehe Satz 3.2.3 aus der Vorlesung):

X (U) ⟶^{≅} Ω^{1}(U), X ↦ X^{∗} = ⟨X, ·⟩,

X (U) ⟶^{≅} Ω^{n−1}(U), X ↦ X⌟ vol,

C^{∞}(U) ⟶^{≅} Ω^{n−1}(U), f ↦ f · vol .

Beweise, dass dies Isomorphismen sind (1 Pkt.) und zeige: Dann gilt • (∇f)^{∗} = df f.a. f ∈ C^{∞}(U), 1 Pkt.

• d(X⌟ vol) = div X · vol f.a. X ∈ X (U), mit div(X^{1}, …, X^{n}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂X^{i}}{∂x^{i}}, 1 Pkt.

• dX^{∗} = rot X⌟ vol für X ∈ X (U), falls n = 3. 1 Pkt.

3. Berechne die Standarddarstellung folgender Differentialforman (d.h. in der kanonischen Basis): (je 1/2 Pkt.)

a) im ℝ^{2}: (sin x dx − cos y dy) ∧ (cos y dx + sin x dy)

b) im ℝ^{3}: (x dx + xy dy + xyz dz) ∧ (2yz dy ∧ dz − dx ∧ dz + zdx ∧ dz)

c) im ℝ^{2n}: ω ∧ ω ∧ … ∧ ω (n-mal) für ω = (dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{3} ∧ dx_{4} + … + dx_{2n−1} ∧ dx_{2n}

d) im ℝ^{3}: d(xdx + ydy + zdz)

e) im ℝ^{3}: d((x + sin y)dx + (y + sin x)dy + ydz)

f) im ℝ^{3}: d(xyz dx ∧ dy + xy dy ∧ dz − \frac{1}{2}y^{2}(x − 1) dz ∧ dx)

g) im ℝ^{3}: f^{∗}(ydx + xdy) mit f: ℝ^{3} → ℝ^{2}, f(x, y, z) = (x + y + z, xyz)

h) im ℝ^{3}: f^{∗}(x^{2}dx), mit f: ℝ^{3} → ℝ, f(x, y, z) = xy^{2}z^{3}.

4. Verwende die Kugelkoordinaten r, ϑ, φ

(x, y, z) = (r sin ϑ cos φ, r sin ϑ sin φ, r cos ϑ) .

a) Drücke dr, dϑ, dφ durch dx, dy, dz aus und umgekehrt. (2 Pkte.)

b) Es sei ω = x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy ∈ Ω^{2}(ℝ^{3}). Es sei f: (0, π) × (0, 2π) ∋ (ϑ, φ) ↦ f(ϑ, φ) ∈ S^{2} die Parametrisierung durch Kugelkoordinaten. Berechne f^{∗}ω. (2 Pkte.)

Rückgabe: In den Kasten am 16.11.