Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 3

1. Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Abzählung der Menge der rationalen Punkte im 2-dimensionalen Einheitsquadrat [0, 1] × [0, 1] ∩ ℚ. Für n ∈ ℕ bezeichne mit I_{n} das kompakte Quadrat mit Mittelpunkt x_{n} und Kantenlänge 2^{−n}. Sei nun V die abzählbare Vereinigung der offenen Quadrate

V = I_{1}^{∘} ∪ I_{2}^{∘} ∪ ….

Dies ist also eine Teilmenge des ℝ^{2}.

a) Zeige: V ist beschränkt und offen. 1 Punkt

b) Zeige: \underline{∫}_{V} 1 d^{2}(x, y) ≤ \frac{1}{3}. 1 Punkt

c) Zeige: \overline{∫}_{V} 1 d^{2}(x, y) ≥ 1. 1 Punkt

d) Folgere: V ist nicht Jordan-messbar. 1 Punkt

2. a) Es sei T: ℝ^{n} → ℝ^{n} eine affine Transformation T (x) = Ax + b, A ∈ M(n × n, ℝ), b ∈ ℝ^{n}, det A ≠ 0. Zeige: Ist S der Schwerpunkt einer kompakten Jordan-messbaren Menge K ⊂ ℝ^{n} mit positivem Volumen v_{n}(K) > 0, so ist der Schwerpunkt der Bildmenge T (K) durch den Bildpunkt T (S) gegeben. 2 Punkte.

b) Es sei V ⊂ ℝ^{3} der Volltorus zu den Parametern 0 < a < b.

V = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − b)^{2} + z^{2} ≤ a^{2} \} .

Berechne das Trägheitsmoment ∫_{V} (x^{2} + y^{2}) d^{3}(x, y, z). 2 Punkte.

3. Sei U ⊂ ℝ^{3} offen, g ∈ C^{1}(U, ℝ) und c ∈ ℝ ein regulärer Wert von g, also ∇g(x) ≠ 0 f.a. x ∈ N_{c}(G) = g^{−1}(c). Zeige: Dann ist N_{c}(g) lokal in jedem Punkt ein parametrisiertes Flächenstück. Hinweis: Implizite Funktionen. 4 Punkte

4. a) Zeige, daß das skalare Oberflächenelement eines parametrtisierten Flächenstücks von der Parametrisierung unabhängig ist. 2 Punkte.

b) Es sei γ: [a, b] → ℝ^{2}, γ(s) = (φ(s), ψ(s)), eine C^{1}-Kurve mit γ̇(s) ≠ 0 und ψ(s) > 0 f.a. s ∈ [a, b]. Betrachte die Rotationsfläche f(s, t) = (φ(s), ψ(s) cos t, ψ(s) sin t). Zeige: Der Flächeninhalt beträgt 2 Punkte

A(f) = 2π ∫_{a}^{b} ψ(s)|γ̇(s)|ds .

Rückgabe: In den Kasten am 02.11.