Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 2

1. a) Es sei N ⊂ ℝ^{n−1} eine (n − 1)-dimensionale Jordan-Nullmenge. Zeige: Dann ist N × ℝ ⊂ ℝ^{n} eine n-dimensionale J.-Nullmenge. 2 Pkte.

b) Es sei A ⊂ ℝ^{n−1} eine abgeschlossene Teilmenge und f: A → ℝ stetig. Zeige: Dann ist graph f = { (x, f(x)) ∈ ℝ^{n} | x ∈ A } eine n-dimensionale J.-Nullmenge. 1 Pkt.

c) Beweise oder widerlege: graph f für f: X → ℝ stetig, X ⊂ ℝ^{n−1}, ist genau dann eine ndimensionale Nullmenge, wenn ∂X eine (n − 1)-dimensionale Nullmenge ist. 1 Pkt.

2. a) Berechne das Volumen von { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} − z^{2} ≤ 1, |z| ≤ 2 }. 1 Pkt.

b) Berechne das Volumen eines Tetraeders mit der Kantenlänge l. 1 Pkt.

c) Integriere die Funktion z^{2} über die Kugel { x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2} }. 2 Pkte.

3. Der Schwerpunkt einer kompakten Menge K ⊂ ℝ^{n} mit positiven Volumen V ist definiert durch den

Punkt S = (s_{1}, …, s_{n}) ∈ ℝ^{n} mit

s_{i} = \frac{1}{V} ∫_{K} x_{i}d^{n}x, i = 1, …, n .

Berechne den Schwerpunkt

a) von { x^{2} + y^{2} ≤ 1, y ≥ 0 }. 2 Pkte.

b) eines Kegels K(B, h) = \{ (x, z) ∈ ℝ^{n} | 0 ≤ z ≤ h, x ∈ (1 − \frac{z}{h})B \}, B ⊂ ℝ^{n−1} Jordan-messbar.

2 Pkte.

4. Es sei C ⊂ ℝ die Menge aller reellen Zahlen, die eine Dezimalbruchdarstellung besitzen, in welcher die Ziffer 5 nicht vorkommt. Zeige:

a) C ist eine 1-dimensionale Nullmenge. 3 Pkte.

b) C lässt sich bijektiv auf ℝ abbilden. 1 Pkt.

Rückgabe: In den Kasten am 26.10.