Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 12

1. Untersuche folgende Funktionenfolgen f_{n}: I → ℝ. Beantworte die Fragen (mit Begründung):

• Ist lim f_{n} Lebesgue-integrierbar?

• Existiert lim ∫_{I} f_{n}(x)dλ^{1}(x)?

• Ist ∫_{I} lim f_{n}dλ^{1} = lim ∫_{I} f_{n}dλ^{1}?

• Welche Form von Konvergenz liegt für (f_{n}) vor: gleichmäßig, Lebesgue-majorisiert?

a) \frac{1}{(1+x^{2})^{n}} auf I = ℝ,

b) \frac{nx}{1+nx^{2}} auf I = [0, 1],

c) f_{n}(x) = \begin{cases}n^{\frac{3}{2}} , & 0 ≤ x ≤ \frac{1}{n}, \\ 2\sqrt{n} − n^{\frac{3}{2}} x, & \frac{1}{n} ≤ x ≤ \frac{2}{n}, \\ 0, & x ≥ \frac{2}{n}, \end{cases},

d) f_{n}(x) = \begin{cases}0, & x ≤ n − \frac{1}{n}, \\ nx + 1 − n^{2}, & n − \frac{1}{n} ≤ x ≤ n, \\ 1 + n^{2} − nx, & n ≤ x ≤ n + \frac{1}{n}, \\ 0, & x ≥ n + \frac{1}{n}, \end{cases}

2. Sei (X, A, μ) ein Maßraum mit μ(X) < ∞. Sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Funktionenfolge f_{n}: X → ℝ mit f_{n} → (f: X → ℝ) gleichmäßig auf X und f_{n} μ-integrabel f.a. n ∈ ℕ. Zeige:

f ist μ-integrabel und lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}dμ = ∫_{X} fdμ .

4 Punkte

3. Es sei

F (s) = ∫_{[0,∞)} e^{−st} \frac{sin t}{t}dλ^{1}(t) .

a) Zeige, daß F (s) für s > 0 im Sinne des Lebesgue-Integrals wohldefiniert ist.

b) Zeige, daß lim_{s→∞} F (s) = 0.

c) Zeige, daß F (s) für s > 0 differenzierbar ist und

F′(s) = −\frac{1}{1 + s^{2}} .

d) Zeige: F (s) = \frac{π}{2} − arctan s.

Bitten wenden!

4. Betrachte die Funktion f: [0, 1] × [0, 1] → ℝ definiert durch

f(x, y) = \begin{cases}2^{2n}, & falls 2^{−n} ≤ x < 2^{−n+1} und 2^{−n} ≤ y < 2^{−n+1}, \\ −2^{2n}, & falls 2^{−n−1} ≤ x < 2^{−n} und 2^{−n} ≤ y < 2^{−n+1}, \\ 0, & sonst. \end{cases}

a) Berechne alle Integrale entlang der horizontalen und der vertikalen Koordinatenlinien. 2 Punkte b) Zeige ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1} f(x, y)dx) dy = 0, ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1} f(x, y)dy) dx = 1 und ∫∫_{[0,1]^{2}} |f(x, y)|d^{2}(x, y) = +∞ 2 Punkte

Rückgabe: In den Kasten am 19.01.10