Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 11

1. Betrachte die Funktion f(x) = \frac{sin x}{x} auf X = [0, ∞) und zeige, daß f Riemann-integrierbar ist, aber nicht Lebesgue-integrierbar. 4 Punkte

2. Es seien f_{n}, f: X → ℝ̄, n ∈ ℕ messbare Funktionen auf einem vollständigen Maßraum (X, A, μ). Es gilt:

• F_{n} → f f.ü. gleichmäßig ⇔ ex. Nullmenge N ∈ A mit lim_{n→∞} sup_{x∈X\N} |f_{n}(x) − f(x)| = 0.

• f_{n} → f fast gleichmäßig ⇔ für alle ε > 0 existiert ein N ∈ A mit μ(N) < ε und

lim_{n→∞} sup_{x∈X\N} |f_{n}(x) − f(x)| = 0

.

a) Zeige: f_{n} → f f.ü. gleichm. ⇒ f_{n} → f fast gleichmäßig. 1 Punkt.

b) Finde ein Beispiel (X, A, μ) mit μ(X) < ∞ und f_{n} → f fast gleichm. aber nicht f_{n} → f f.ü. gleichm. 3 Punkte

3. Gib 3 (nicht-triviale, also mindestens #X = ∞) Beispiele von Maßräumen (X, A, μ), so daß jeweils gilt:

a) L^{r}(X, μ) ⊆ L^{s}(X, μ) für alle 1 ≤ r ≤ s ≤ ∞. 2 Punkte,

b) L^{s}(X, μ) ⊆ L^{r}(X, μ) für alle 1 ≤ r ≤ s ≤ ∞. 2 Punkte,

c) L^{r}(X, μ) ≠ L^{r}(X, μ) ∩ L^{s}(X, μ) ≠ L^{s}(X, μ) für alle r ≠ s.

4. a) Zeige: Ist K ⊂ ℝ^{k} kompakt und (f_{n}: K → ℝ)_{n∈ℕ} eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen, welche gleichmäßig gegen f: K → ℝ konvergieren, so ist auch f Lebesgue-integrierbar, und es gilt

lim ∫_{K} f_{n} dλ^{k} = ∫_{K} f dλ^{k} .

(Hinweis: Zeige: gleichmäßige Konvergenz impliziert Lebesgue-majorisierte Konvergenz) 2 Punkte

b) optional: Gilt dies auch für K = ℝ^{k}? Begründe! 2 Zusatzpunkte

Rückgabe: In den Kasten am 12.01.10