Prof. M. Schwarz  Maß- und Integrationstheorie  WS 2009/10

Serie 1

1. Skizziere von folgender Funktion

• die Niveaulinien,

• die Gradientenflusstrajektorien,

• die kritischen Punkte,

und finde lokale Extrema und bestimme gegebenenfalls den Typ:

sin x · sin y · sin(x + y) .

(4 Pkte)

2. Untersuche f(x, y) = x(y − 1)e^{−(x^{2}+y^{2})} in [0, ∞) × [0, ∞) auf Extrema. (Achte auf die Randpunkte!) (4 Pkte)

3. Betrachte die folgende Menge von geschlossenen Kurven in ℝ^{2} = ℂ:

X_{N} = { c: [0, 2π] → ℂ | c(t) = ∑_{k=−N}^{N} a_{k}e^{ikt}, a_{k} ∈ ℂ, k = −N, …, 0, …, N },

für ein festes N ∈ ℕ.

Betrachte für eine beliebige stetig differenzierbare, geschlossene Kurve c: [0, 2π] → ℂ, c(0) = c(2π) mit c(t) = x(t) + iy(t) die Ausdrücke

A(c) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{2π}(xẏ − ẋy)dt und E(c) = ∫_{0}^{2π}(ẋ^{2} + ẏ^{2})dt .

Bestimme für die Funktionen A: X_{N} → ℝ und E: X_{N} → ℝ das Maximum von A unter der Nebenbedingung E = 2π. Welche Kurve c ∈ X_{N} realisiert dieses bedingte Maximum? (4 Pkte)

4. Es sei R = [a_{1}, b_{1}] × … × [a_{n}, b_{n}] ⊂ ℝ^{n} eine gegebene Rechteckmenge und R(R) die Menge der auf R Riemann-integrierbaren beschränkten Funktionen. Zeige, daß R(R) ein reeller Vektorraum ist, und

f, g ∈ R(R), λ, μ ∈ ℝ ⇒ λf + μg ∈ R(R) .

(4 Pkte)

Rückgabe: In den Kasten am 19.10.